次の2つの関数について、与えられた定義域における値域を求め、最大値と最小値があればそれらを求めます。 (1) $y = -2x + 3$ ($-1 \le x \le 2$) (2) $y = \frac{2}{3}x - 1$ ($0 < x \le 2$)

1. 問題の内容

次の2つの関数について、与えられた定義域における値域を求め、最大値と最小値があればそれらを求めます。

(1) $y = -2x + 3$ ($-1 \le x \le 2$)

(2) $y = \frac{2}{3}x - 1$ ($0 < x \le 2$)

2. 解き方の手順

(1) $y = -2x + 3$ について

この関数は傾きが負の一次関数なので、$x$ が小さいほど $y$ は大きく、$x$ が大きいほど $y$ は小さくなります。

$x = -1$ のとき $y = -2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5$

$x = 2$ のとき $y = -2(2) + 3 = -4 + 3 = -1$

よって、最大値は $5$ ($x = -1$ のとき)、最小値は $-1$ ($x = 2$ のとき)です。値域は $-1 \le y \le 5$ となります。

(2) $y = \frac{2}{3}x - 1$ について

この関数は傾きが正の一次関数なので、$x$ が小さいほど $y$ は小さく、$x$ が大きいほど $y$ は大きくなります。

$x = 0$ のとき $y = \frac{2}{3}(0) - 1 = -1$

$x = 2$ のとき $y = \frac{2}{3}(2) - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

$x$ の定義域が $0 < x \le 2$ であることに注意すると、$x$ は $0$ を含みません。そのため、$y$ は $-1$ に限りなく近づきますが、$-1$ にはなりません。したがって、最小値は存在しません。最大値は、$x=2$ のときの $y = \frac{1}{3}$ です。値域は $-1 < y \le \frac{1}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 5, 最小値: -1, 値域: $-1 \le y \le 5$

(2) 最大値: $\frac{1}{3}$, 最小値: なし, 値域: $-1 < y \le \frac{1}{3}$