数列 $\{a_n\}$ があり、初項が $a_1 = 3$ で、漸化式 $2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$ を満たすとき、この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、初項が $a_1 = 3$ で、漸化式 $2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$ を満たすとき、この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を変形します。

$2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$

$2a_{n+1} = a_n - 2$

$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n - 1$

この漸化式は、特性方程式を用いて解くことができます。特性方程式は

$\alpha = \frac{1}{2}\alpha - 1$

これを解くと

$\alpha - \frac{1}{2}\alpha = -1$

$\frac{1}{2}\alpha = -1$

$\alpha = -2$

したがって、与えられた漸化式は次のように変形できます。

$a_{n+1} - (-2) = \frac{1}{2}(a_n - (-2))$

$a_{n+1} + 2 = \frac{1}{2}(a_n + 2)$

ここで、$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$ となり、これは等比数列です。

初項は $b_1 = a_1 + 2 = 3 + 2 = 5$ であり、公比は $\frac{1}{2}$ なので、

$b_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

$a_n = b_n - 2$ であるから、

$a_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - 2$

3. 最終的な答え

$a_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - 2$