与えられた2つの2次関数について、グラフを書き、頂点と軸を求める問題です。 (1) $y = 2x^2 - 3x - 1$ (2) $y = -x^2 - x + 2$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、グラフを書き、頂点と軸を求める問題です。

(1) $y = 2x^2 - 3x - 1$

(2) $y = -x^2 - x + 2$

2. 解き方の手順

2次関数のグラフを書くには、まず平方完成を行い、基本形 $y = a(x-p)^2 + q$ に変形します。

このとき、頂点は $(p, q)$、軸は $x = p$ となります。

(1) $y = 2x^2 - 3x - 1$ を平方完成します。

まず、$x^2$ の係数である2で括ります。

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 1$

次に、括弧の中を平方完成します。$\frac{3}{2}$ の半分の二乗、$(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$ を足して引きます。

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}) - 1$

$y = 2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) - 1$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} - 1$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{17}{8}$

したがって、頂点は $(\frac{3}{4}, -\frac{17}{8})$、軸は $x = \frac{3}{4}$ です。

(2) $y = -x^2 - x + 2$ を平方完成します。

まず、$x^2$ の係数である-1で括ります。

$y = -(x^2 + x) + 2$

次に、括弧の中を平方完成します。$1$ の半分の二乗、$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ を足して引きます。

$y = -(x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 2$

$y = -((x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 2$

$y = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 2$

$y = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

したがって、頂点は $(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$、軸は $x = -\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(\frac{3}{4}, -\frac{17}{8})$、軸: $x = \frac{3}{4}$

(2) 頂点: $(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$、軸: $x = -\frac{1}{2}$