与えられた6つの2次不等式を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの2次不等式を解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 - 7x - 4 \le 0$

因数分解すると $(2x+1)(x-4) \le 0$ となる。したがって、$-\frac{1}{2} \le x \le 4$。

(2) $6x^2 + x - 2 > 0$

因数分解すると $(2x-1)(3x+2) > 0$ となる。したがって、$x < -\frac{2}{3}, \frac{1}{2} < x$。

(3) $x^2 + 5x + 1 < 0$

解の公式より、$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$。したがって、$\frac{-5 - \sqrt{21}}{2} < x < \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}$。

(4) $2x^2 - 2x - 1 \ge 0$

解の公式より、$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$。したがって、$x \le \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \le x$。

(5) $x^2 - 7 < 0$

$x^2 < 7$ より、$-\sqrt{7} < x < \sqrt{7}$。

(6) $2x^2 - 9 \ge 0$

$2x^2 \ge 9$ より、$x^2 \ge \frac{9}{2}$。したがって、$x \le -\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{3}{\sqrt{2}} \le x$。または、$x \le -\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \le x$。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{2} \le x \le 4$

(2) $x < -\frac{2}{3}, \frac{1}{2} < x$

(3) $\frac{-5 - \sqrt{21}}{2} < x < \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}$

(4) $x \le \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \le x$

(5) $-\sqrt{7} < x < \sqrt{7}$

(6) $x \le -\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \le x$