$a$ は実数とします。2次方程式 $x^2 + 2ax + 5a - 4 = 0$ が異なる2つの虚数解をもつとき、$a$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$a$ は実数とします。2次方程式 $x^2 + 2ax + 5a - 4 = 0$ が異なる2つの虚数解をもつとき、$a$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの虚数解をもつための条件は、判別式 $D$ が $D < 0$ となることです。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (2a)^2 - 4(1)(5a - 4) = 4a^2 - 20a + 16$

$D < 0$ より、

$4a^2 - 20a + 16 < 0$

両辺を4で割ると、

$a^2 - 5a + 4 < 0$

左辺を因数分解すると、

$(a - 1)(a - 4) < 0$

したがって、$1 < a < 4$ が求める $a$ の範囲です。

3. 最終的な答え

$1 < a < 4$