整数 $x$ に対して、命題「$x^2 + 4x + 2 = 0$ ならば $x = 1$」の真偽を判定し、真ならば証明を、偽ならば反例を挙げよ。

1. 問題の内容

整数 $x$ に対して、命題「$x^2 + 4x + 2 = 0$ ならば $x = 1$」の真偽を判定し、真ならば証明を、偽ならば反例を挙げよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式 $x^2 + 4x + 2 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}$

$x = -2 + \sqrt{2}$ または $x = -2 - \sqrt{2}$となります。

このとき、$x = -2 \pm \sqrt{2}$ は整数ではありません。なぜなら、$\sqrt{2}$は無理数だからです。

したがって、$x^2 + 4x + 2 = 0$ を満たす整数 $x$ は存在しません。

$x^2 + 4x + 2 = 0$ を満たす整数$x$が存在しないので、

「$x^2 + 4x + 2 = 0$ ならば $x = 1$」という命題の仮定「$x^2 + 4x + 2 = 0$」が常に偽となります。

仮定が偽である命題は常に真です。

3. 最終的な答え

真