次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (1) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 3a_n - 4$ (2) $a_1 = -2$, $a_{n+1} = 5a_n + 12$ (3) $a_1 = 6$, $a_{n+1} = 2a_n - 1$ (4) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = -4a_n + 10$ (5) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + 2$

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(1) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 3a_n - 4$

(2) $a_1 = -2$, $a_{n+1} = 5a_n + 12$

(3) $a_1 = 6$, $a_{n+1} = 2a_n - 1$

(4) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = -4a_n + 10$

(5) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + 2$

2. 解き方の手順

(1)

$a_{n+1} = 3a_n - 4$ を変形します。$a_{n+1} - \alpha = 3(a_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を探します。

$a_{n+1} = 3a_n - 4$ より、

$a_{n+1} - \alpha = 3a_n - 4 - \alpha$

$a_{n+1} - \alpha = 3(a_n - \alpha) = 3a_n - 3\alpha$

$-4 - \alpha = -3\alpha$

$2\alpha = 4$

$\alpha = 2$

よって、$a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$ と変形できます。

$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、$\{b_n\}$ は公比3の等比数列です。

$b_1 = a_1 - 2 = 3 - 2 = 1$

よって、$b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$

したがって、$a_n = b_n + 2 = 3^{n-1} + 2$

(2)

$a_{n+1} = 5a_n + 12$ を変形します。$a_{n+1} - \alpha = 5(a_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を探します。

$a_{n+1} = 5a_n + 12$ より、

$a_{n+1} - \alpha = 5a_n + 12 - \alpha$

$a_{n+1} - \alpha = 5(a_n - \alpha) = 5a_n - 5\alpha$

$12 - \alpha = -5\alpha$

$4\alpha = -12$

$\alpha = -3$

よって、$a_{n+1} + 3 = 5(a_n + 3)$ と変形できます。

$b_n = a_n + 3$ とおくと、$b_{n+1} = 5b_n$ となり、$\{b_n\}$ は公比5の等比数列です。

$b_1 = a_1 + 3 = -2 + 3 = 1$

よって、$b_n = 1 \cdot 5^{n-1} = 5^{n-1}$

したがって、$a_n = b_n - 3 = 5^{n-1} - 3$

(3)

$a_{n+1} = 2a_n - 1$ を変形します。$a_{n+1} - \alpha = 2(a_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を探します。

$a_{n+1} = 2a_n - 1$ より、

$a_{n+1} - \alpha = 2a_n - 1 - \alpha$

$a_{n+1} - \alpha = 2(a_n - \alpha) = 2a_n - 2\alpha$

$-1 - \alpha = -2\alpha$

$\alpha = 1$

よって、$a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$ と変形できます。

$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となり、$\{b_n\}$ は公比2の等比数列です。

$b_1 = a_1 - 1 = 6 - 1 = 5$

よって、$b_n = 5 \cdot 2^{n-1}$

したがって、$a_n = b_n + 1 = 5 \cdot 2^{n-1} + 1$

(4)

$a_{n+1} = -4a_n + 10$ を変形します。$a_{n+1} - \alpha = -4(a_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を探します。

$a_{n+1} = -4a_n + 10$ より、

$a_{n+1} - \alpha = -4a_n + 10 - \alpha$

$a_{n+1} - \alpha = -4(a_n - \alpha) = -4a_n + 4\alpha$

$10 - \alpha = 4\alpha$

$5\alpha = 10$

$\alpha = 2$

よって、$a_{n+1} - 2 = -4(a_n - 2)$ と変形できます。

$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = -4b_n$ となり、$\{b_n\}$ は公比-4の等比数列です。

$b_1 = a_1 - 2 = 5 - 2 = 3$

よって、$b_n = 3 \cdot (-4)^{n-1}$

したがって、$a_n = b_n + 2 = 3 \cdot (-4)^{n-1} + 2$

(5)

$a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + 2$ を変形します。$a_{n+1} - \alpha = \frac{1}{2}(a_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を探します。

$a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + 2$ より、

$a_{n+1} - \alpha = \frac{1}{2} a_n + 2 - \alpha$

$a_{n+1} - \alpha = \frac{1}{2}(a_n - \alpha) = \frac{1}{2} a_n - \frac{1}{2}\alpha$

$2 - \alpha = -\frac{1}{2}\alpha$

$\frac{1}{2}\alpha = -2$

$\alpha = -4$

よって、$a_{n+1} + 4 = \frac{1}{2}(a_n + 4)$ と変形できます。

$b_n = a_n + 4$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$ となり、$\{b_n\}$ は公比1/2の等比数列です。

$b_1 = a_1 + 4 = 1 + 4 = 5$

よって、$b_n = 5 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

したがって、$a_n = b_n - 4 = 5 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} - 4$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3^{n-1} + 2$

(2) $a_n = 5^{n-1} - 3$

(3) $a_n = 5 \cdot 2^{n-1} + 1$

(4) $a_n = 3 \cdot (-4)^{n-1} + 2$

(5) $a_n = 5 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} - 4$