(1) 第5項が10, 初項から第5項までの和が100である等差数列の初項と公差を求める。 (2) 等比数列 $18, -6\sqrt{3}, 6, \dots$ の第6項と、初項から第15項までの奇数番目の項の和を求める。

1. 問題の内容

(1) 第5項が10, 初項から第5項までの和が100である等差数列の初項と公差を求める。

(2) 等比数列 $18, -6\sqrt{3}, 6, \dots$ の第6項と、初項から第15項までの奇数番目の項の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の初項を $a$, 公差を $d$ とする。第5項が10なので、

$a + 4d = 10$ ... (1)

初項から第5項までの和が100なので、

$\frac{5}{2}(2a + 4d) = 100$

$5(a + 2d) = 100$

$a + 2d = 20$ ... (2)

(1)から(2)を引くと、

$(a + 4d) - (a + 2d) = 10 - 20$

$2d = -10$

$d = -5$

これを(2)に代入すると、

$a + 2(-5) = 20$

$a - 10 = 20$

$a = 30$

したがって、初項は30、公差は-5である。

(2) 等比数列 $18, -6\sqrt{3}, 6, \dots$ の公比を $r$ とする。

$r = \frac{-6\sqrt{3}}{18} = \frac{-\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

第6項は、

$18 \cdot r^5 = 18 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}})^5 = 18 \cdot \frac{-1}{9\sqrt{3}} = \frac{-2}{\sqrt{3}} = \frac{-2\sqrt{3}}{3}$

初項から第15項までの奇数番目の項は、

$a_1, a_3, a_5, \dots, a_{29}$

初項は $18$, 公比は $r^2 = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$, 項数は $15$

和は、

$S = \frac{18(1-(\frac{1}{3})^{15})}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18(1-(\frac{1}{3})^{15})}{\frac{2}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{2} \cdot (1-(\frac{1}{3})^{15}) = 27(1 - (\frac{1}{3})^{15})$

$S = 27(1 - \frac{1}{3^{15}})$

$3^{15} = 3^{5} \cdot 3^{5} \cdot 3^{5} = 243 \cdot 243 \cdot 243 = 14348907$

$S = 27(1 - \frac{1}{14348907}) = 27(\frac{14348906}{14348907}) = \frac{387420462}{14348907} \approx 27$

奇数番目の項は $18, 6, 2\sqrt{3}, \dots$なので、

$S_{15} = 18 + 6 + 2 + \dots + \frac{2}{3^{6}\sqrt{3}}$ となる。

初項 $18$, 公比 $1/3$, 項数 $15$ なので,

$S = \frac{18(1 - (1/3)^{15})}{1 - 1/3} = \frac{18(1 - (1/3)^{15})}{2/3} = 27(1 - (1/3)^{15}) = 27 - \frac{27}{3^{15}} = 27 - \frac{1}{3^{12}} = 27 - \frac{1}{531441} = \frac{14348907 - 1}{531441} = \frac{14348906}{531441} \approx 27$.

ここで計算をやり直します。奇数番目の項のみを考えます。初項は18, 公比は $1/3$ です。第15項までなので項数は8個です。

$S = \frac{18(1 - (\frac{1}{3})^8)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18(1 - \frac{1}{6561})}{\frac{2}{3}} = 27(1 - \frac{1}{6561}) = 27 - \frac{27}{6561} = 27 - \frac{1}{243} = \frac{6561 - 1}{243} = \frac{6560}{243}$

3. 最終的な答え

(1) 初項は30, 公差は-5

(2) 第6項は $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$, 初項から第15項までの奇数番目の項の和は $\frac{6560}{243}$