はい、承知いたしました。画像に含まれる数学の問題のうち、いくつかを選んで解いてみましょう。

はい、承知いたしました。画像に含まれる数学の問題のうち、いくつかを選んで解いてみましょう。

**問題1:** 2次方程式 $x^2 + 2mx + m = 0$ について、次の問いに答えよ。

(1) 実数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

(2) 異なる2つの虚数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

**解き方の手順:**

(1) 2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D \ge 0$ であることです。

判別式 $D$ は、$D = (2m)^2 - 4(1)(m) = 4m^2 - 4m$ です。

したがって、$4m^2 - 4m \ge 0$ を解けばよいです。

$4m(m - 1) \ge 0$ より、$m \le 0$ または $m \ge 1$ となります。

(2) 2次方程式が異なる2つの虚数解を持つ条件は、判別式 $D < 0$ であることです。

したがって、$4m^2 - 4m < 0$ を解けばよいです。

$4m(m - 1) < 0$ より、$0 < m < 1$ となります。

**最終的な答え:**

(1) $m \le 0$ または $m \ge 1$

(2) $0 < m < 1$

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**問題2:** 2次方程式 $3x^2 + 4x + 2 = 0$ について、2つの解の和と積を求めよ。

**解き方の手順:**

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とするとき、解と係数の関係から、

解の和は $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$、解の積は $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ となります。

与えられた方程式では、$a = 3, b = 4, c = 2$ なので、

解の和は $-\frac{4}{3}$、解の積は $\frac{2}{3}$ となります。

**最終的な答え:**

解の和: $-\frac{4}{3}$

解の積: $\frac{2}{3}$

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**問題3:** 2次方程式 $x^2 + 3x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の式の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$

**解き方の手順:**

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -3$、$\alpha \beta = -1$ です。

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = (-3)^2 - 2(-1) = 9 + 2 = 11$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta) = (-3)^3 - 3(-1)(-3) = -27 - 9 = -36$

**最終的な答え:**

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = 11$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 = -36$

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**問題4:** 次の2数を解とする2次方程式を1つ作れ。

(1) $2, -1$

**解き方の手順:**

2つの解を$\alpha$と$\beta$とすると、$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$という2次方程式を作ることができます。

$\alpha = 2, \beta = -1$なので、

$\alpha + \beta = 2 + (-1) = 1$

$\alpha\beta = 2(-1) = -2$

よって、求める2次方程式は$x^2 - x - 2 = 0$

**最終的な答え:**

$x^2 - x - 2 = 0$

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**問題5:**2次方程式 $x^2+5x+m=0$の2つの解が次の条件を満たすとき、定数mの値と2つの解を、それぞれ求めよ。

(1) 1つの解が他の解の4倍である。

**解き方の手順:**

2つの解を$\alpha$と$4\alpha$とおく。

解と係数の関係より、

$\alpha + 4\alpha = -5$

$\alpha \cdot 4\alpha = m$

$\alpha + 4\alpha = 5\alpha = -5$より、$\alpha = -1$

したがって、もう一つの解は$4\alpha = -4$

$m = \alpha \cdot 4\alpha = (-1)(-4) = 4$

**最終的な答え:**

$m = 4$

2つの解は$-1$と$-4$

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問題は以上になります。