与えられた二つの行列の階数を求めます。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 5 & 6 & -3 \\ 4 & 7 & 2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 4 & -2 \\ 3 & 3 & 6 & -3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた二つの行列の階数を求めます。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 5 & 6 & -3 \\ 4 & 7 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 4 & -2 \\ 3 & 3 & 6 & -3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数は、行列を簡約化した後の零でない行の数に等しいです。簡約化は行基本変形を用いて行います。

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 5 & 6 & -3 \\ 4 & 7 & 2 \end{pmatrix}$

まず、2行目から1行目の5倍を引き、3行目から1行目の4倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 6 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

最後に、1行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

零でない行は2行なので、階数は2です。

(2)

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 4 & -2 \\ 3 & 3 & 6 & -3 \end{pmatrix}$

まず、2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

零でない行は1行なので、階数は1です。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 1