以下の3つの式を計算します。 (1) $\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ (2) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ (3) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}}$

はい、承知しました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

以下の3つの式を計算します。

(1) $\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

(2) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

(3) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ の計算

分母を有理化します。まず、$1 + \sqrt{2}$ をひとまとめにして考え、分母と分子に $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+2\sqrt{2}+2-3} = \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

さらに有理化するために、分母と分子に $\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+2+\sqrt{6}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ の計算

分母を有理化します。$\sqrt{5}+\sqrt{3}$をひとまとめにして、分母と分子に $\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})}$

$= \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2} = \frac{5+3+2+2\sqrt{15}+2\sqrt{10}+2\sqrt{6}}{5+2\sqrt{15}+3-2}$

$= \frac{10+2\sqrt{15}+2\sqrt{10}+2\sqrt{6}}{6+2\sqrt{15}} = \frac{5+\sqrt{15}+\sqrt{10}+\sqrt{6}}{3+\sqrt{15}}$

さらに有理化するために、分母と分子に $3-\sqrt{15}$ をかけます。

$\frac{(5+\sqrt{15}+\sqrt{10}+\sqrt{6})(3-\sqrt{15})}{(3+\sqrt{15})(3-\sqrt{15})} = \frac{15-5\sqrt{15}+3\sqrt{15}-15+3\sqrt{10}-\sqrt{150}+3\sqrt{6}-\sqrt{90}}{9-15}$

$= \frac{-2\sqrt{15}+3\sqrt{10}-5\sqrt{6}+3\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{-6} = \frac{-2\sqrt{15}-2\sqrt{6}}{-6} = \frac{\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}$

(3) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}}$ の計算

それぞれの分数について分母を有理化します。

1つ目の分数は、分母と分子に $\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})^2}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2-7} = \frac{2+5+7+2\sqrt{10}+2\sqrt{14}+2\sqrt{35}}{2+2\sqrt{10}+5-7}$

$= \frac{14+2\sqrt{10}+2\sqrt{14}+2\sqrt{35}}{2\sqrt{10}} = \frac{7+\sqrt{10}+\sqrt{14}+\sqrt{35}}{\sqrt{10}}$

2つ目の分数は、分母と分子に $\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7})^2}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})^2-7} = \frac{2+5+7-2\sqrt{10}+2\sqrt{14}-2\sqrt{35}}{2-2\sqrt{10}+5-7}$

$= \frac{14-2\sqrt{10}+2\sqrt{14}-2\sqrt{35}}{-2\sqrt{10}} = \frac{7-\sqrt{10}+\sqrt{14}-\sqrt{35}}{-\sqrt{10}}$

2つの分数を足し合わせると、

$\frac{7+\sqrt{10}+\sqrt{14}+\sqrt{35}}{\sqrt{10}} + \frac{7-\sqrt{10}+\sqrt{14}-\sqrt{35}}{-\sqrt{10}} = \frac{7+\sqrt{10}+\sqrt{14}+\sqrt{35} -7+\sqrt{10}-\sqrt{14}+\sqrt{35}}{\sqrt{10}}$

$= \frac{2\sqrt{10}+2\sqrt{35}}{\sqrt{10}} = 2 + 2\sqrt{\frac{35}{10}} = 2 + 2\sqrt{\frac{7}{2}} = 2+\sqrt{14}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2}+2+\sqrt{6}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}$

(3) $2 + \sqrt{14}$