3次方程式 $x^3 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲と、異なる2つの負の解と1つの正の解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲と、異なる2つの負の解と1つの正の解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x^3 - 12x$ を考えます。このとき、方程式は $f(x) = a$ と書き換えられます。

$f(x)$ のグラフを描き、 $y = a$ との交点の個数を考えることで、方程式の実数解の個数を調べることができます。

$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)$ より、 $f(x)$ は $x = -2$ で極大値、 $x = 2$ で極小値を持ちます。

極大値は $f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) = -8 + 24 = 16$

極小値は $f(2) = (2)^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16$

(1) 異なる3つの実数解を持つとき：

$y = a$ が極大値と極小値の間にある必要があります。

したがって、 $-16 < a < 16$

(2) 異なる2つの負の解と1つの正の解を持つとき：

$y = a$ と $y = f(x)$ のグラフが、正の $x$ 軸で1回、負の $x$ 軸で2回交わる必要があります。

そのためには、$f(0) < a < f(2)$である必要があります。

$f(0) = 0$であり、$f(2) = -16$であるため、$-16 < a < 0$ である。

3. 最終的な答え

異なる3つの実数解を持つとき：$-16 < a < 16$

異なる2つの負の解と1つの正の解を持つとき：$-16 < a < 0$