$a > 0$ とする。2次関数 $y = x^2 - 2ax + 1$ ($0 \le x \le 4$)について、最小値 $m$ と最大値 $M$ をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。2次関数 $y = x^2 - 2ax + 1$ ($0 \le x \le 4$)について、最小値 $m$ と最大値 $M$ をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 最小値 $m$ を求める。

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2ax + 1 = (x - a)^2 - a^2 + 1$

軸は $x = a$ である。定義域は $0 \le x \le 4$ である。$a > 0$ であるから、軸が定義域内にあるかどうかで場合分けする。

(i) $0 < a \le 4$ のとき、軸が定義域内にある。

このとき、最小値は頂点の $y$ 座標で、 $m = -a^2 + 1$ である。

(ii) $a > 4$ のとき、軸が定義域の右側にある。

このとき、最小値は $x = 4$ のときで、

$m = 4^2 - 2a(4) + 1 = 16 - 8a + 1 = 17 - 8a$ である。

よって、

$0 < a \le 4$ のとき、$m = -a^2 + 1$

$a > 4$ のとき、$m = 17 - 8a$

(2) 最大値 $M$ を求める。

定義域 $0 \le x \le 4$ の中央の値は $x = 2$ である。軸 $x = a$ がこの中央の値より左にあるか右にあるかで場合分けする。

(i) $0 < a \le 2$ のとき、軸は定義域の中央より左にあるので、$x = 4$ のとき最大値となる。

$M = 4^2 - 2a(4) + 1 = 16 - 8a + 1 = 17 - 8a$

(ii) $2 < a \le 4$ のとき、軸は定義域の中央より右にあるので、$x = 0$ のとき最大値となる。

$M = 0^2 - 2a(0) + 1 = 1$

(iii) $a > 4$ のとき、軸は定義域の外にあるので、$x = 0$ のとき最大値となる。

$M = 0^2 - 2a(0) + 1 = 1$

よって、

$0 < a \le 2$ のとき、$M = 17 - 8a$

$a > 2$ のとき、$M = 1$

3. 最終的な答え

(1) 最小値 $m$:

$0 < a \le 4$ のとき、$m = -a^2 + 1$

$a > 4$ のとき、$m = 17 - 8a$

(2) 最大値 $M$:

$0 < a \le 2$ のとき、$M = 17 - 8a$

$a > 2$ のとき、$M = 1$