与えられた式 $6x^2 + (5y+6)x + y(y+2)$ を因数分解しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 + (5y+6)x + y(y+2)$ を因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

まず、$y(y+2)$を展開します。

$y(y+2) = y^2 + 2y$

すると、与えられた式は以下のようになります。

$6x^2 + (5y+6)x + (y^2 + 2y)$

次に、この式を因数分解することを考えます。$6x^2 + (5y+6)x + (y^2 + 2y)$ は、$ax^2+bx+c$ の形をしているので、たすき掛けの方法を試します。

$6x^2 + (5y+6)x + (y^2 + 2y)$ を

$(ax+by+c)(dx+ey+f)$

の形に分解することを考えます。

$6x^2$ の項から、$a \times d = 6$

$y^2$ の項から、$b \times e = 1$

$2y$ の項から、$b \times f + c \times e = 2$

$x$ の項から、$(5y+6) = ae+bd$

まず、$ad=6$ を満たす組み合わせとして、$(a, d) = (2, 3)$ を試してみます。

また、$be=1$ を満たす組み合わせとして、$(b,e)=(1,1)$ を試してみます。

すると、$(2x+y+c)(3x+y+f)$ となります。

$2y+3y=5y$ なので、xの係数5yはクリアできます。

xの係数6は、6になるように調節します。

$2f+3c=6$を満たし、$cf=2y$を満たすc,fを見つけます。

$y(y+2)$を考えると、$(y+0)(y+2)$なので、定数項は$2y$となる。

$(3x + y)(2x+y+2)$

= $6x^2+3xy+6x+2xy+y^2+2y$

= $6x^2+5xy+6x+y^2+2y$

= $6x^2+(5y+6)x+y(y+2)$

したがって、因数分解すると $(3x+y)(2x+y+2)$ となります。

3. 最終的な答え

$(3x+y)(2x+y+2)$