与えられた分数の分母 $\sqrt{3}+\sqrt{2}+1$ を有理化せよ。与えられた分数は $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}$ である。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母 $\sqrt{3}+\sqrt{2}+1$ を有理化せよ。与えられた分数は $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}$ である。

2. 解き方の手順

まず、分母を $\sqrt{3}+(\sqrt{2}+1)$ と見て、$\sqrt{3}-(\sqrt{2}+1)$ を分子と分母に掛けます。

\begin{align*}

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1} &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+(\sqrt{2}+1)} \cdot \frac{\sqrt{3}-(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{3}-(\sqrt{2}+1)} \\

&= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2}-1)}{3-(\sqrt{2}+1)^2} \\

&= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2}-1)}{3-(2+2\sqrt{2}+1)} \\

&= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2}-1)}{3-3-2\sqrt{2}} \\

&= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2}-1)}{-2\sqrt{2}} \\

&= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}-1}{-2} \\

&= \frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}{2} \\

&= \frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{3}}{2}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{3}}{2}$