与えられた連立1次方程式について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 係数行列および拡大係数行列の階数を求めます。 (2) 連立方程式の解を求めます。 与えられた連立1次方程式は次の通りです。 $\begin{cases} x - y + 4z + 2w = 2 \\ x + z + 2w = 4 \\ 2x - y + 5z + 4w = 6 \\ x + y - 2z + 2w = 6 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立1次方程式について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 係数行列および拡大係数行列の階数を求めます。

(2) 連立方程式の解を求めます。

与えられた連立1次方程式は次の通りです。

$\begin{cases}

x - y + 4z + 2w = 2 \\

x + z + 2w = 4 \\

2x - y + 5z + 4w = 6 \\

x + y - 2z + 2w = 6

\end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) 係数行列と拡大係数行列を求め、それぞれの階数を求めます。

係数行列 $A$ と拡大係数行列 $\tilde{A}$ は次のようになります。

$A = \begin{pmatrix}

1 & -1 & 4 & 2 \\

1 & 0 & 1 & 2 \\

2 & -1 & 5 & 4 \\

1 & 1 & -2 & 2

\end{pmatrix}$

$\tilde{A} = \begin{pmatrix}

1 & -1 & 4 & 2 & 2 \\

1 & 0 & 1 & 2 & 4 \\

2 & -1 & 5 & 4 & 6 \\

1 & 1 & -2 & 2 & 6

\end{pmatrix}$

拡大係数行列 $\tilde{A}$ を行基本変形して階段行列に変形します。

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & 4 & 2 & 2 \\

1 & 0 & 1 & 2 & 4 \\

2 & -1 & 5 & 4 & 6 \\

1 & 1 & -2 & 2 & 6

\end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - R_1, R_3 - 2R_1, R_4 - R_1} \begin{pmatrix}

1 & -1 & 4 & 2 & 2 \\

0 & 1 & -3 & 0 & 2 \\

0 & 1 & -3 & 0 & 2 \\

0 & 2 & -6 & 0 & 4

\end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_2, R_4 - 2R_2} \begin{pmatrix}

1 & -1 & 4 & 2 & 2 \\

0 & 1 & -3 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 + R_2} \begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 2 & 4 \\

0 & 1 & -3 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

従って、係数行列の階数は 2 であり、拡大係数行列の階数も 2 です。

(2) 連立方程式の解を求めます。

上記の階段行列から、次の連立方程式が得られます。

$\begin{cases}

x + z + 2w = 4 \\

y - 3z = 2

\end{cases}$

$z = s$, $w = t$ とおくと、

$x = 4 - s - 2t$

$y = 2 + 3s$

となります。

3. 最終的な答え

(1) 係数行列の階数は 2, 拡大係数行列の階数は 2

(2) 解は、

$\begin{cases}

x = 4 - s - 2t \\

y = 2 + 3s \\

z = s \\

w = t

\end{cases}$

（$s, t$ は任意の実数）