次の連立1次方程式を逆行列を用いて解く。 (1) $ \begin{cases} x - 2y = -1 \\ x + y - z = 2 \\ -5x + 5y + 2z = 0 \end{cases} $ (2) (問題が不完全なため、解けません)

1. 問題の内容

次の連立1次方程式を逆行列を用いて解く。

(1)

$$

\begin{cases}

x - 2y = -1 \\

x + y - z = 2 \\

-5x + 5y + 2z = 0

\end{cases}

$$

(2) (問題が不完全なため、解けません)

2. 解き方の手順

(1)の連立方程式を行列で表すと、次のようになります。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -2 & 0 \\

1 & 1 & -1 \\

-5 & 5 & 2

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-1 \\ 2 \\ 0

\end{pmatrix}

$$

係数行列を$A$とおくと、

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & -2 & 0 \\

1 & 1 & -1 \\

-5 & 5 & 2

\end{pmatrix}

$$

行列$A$の逆行列$A^{-1}$を求めます。

まず、$A$の行列式$|A|$を計算します。

$$

|A| = 1(1\cdot2 - (-1)\cdot5) - (-2)(1\cdot2 - (-1)\cdot(-5)) + 0(1\cdot5 - 1\cdot(-5))

= 1(2 + 5) + 2(2 - 5) + 0

= 7 - 6

= 1

$$

$|A| = 1 \neq 0$なので、$A$は逆行列を持ちます。

$A$の余因子行列を求めます。

$$

C = \begin{pmatrix}

(1\cdot2 - (-1)\cdot5) & -(1\cdot2 - (-1)\cdot(-5)) & (1\cdot5 - 1\cdot(-5)) \\

-(-2\cdot2 - 0\cdot5) & (1\cdot2 - 0\cdot(-5)) & -(1\cdot5 - (-2)\cdot(-5)) \\

(-2\cdot(-1) - 0\cdot1) & -(1\cdot(-1) - 0\cdot1) & (1\cdot1 - (-2)\cdot1)

\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}

7 & 3 & 10 \\

4 & 2 & -5 \\

2 & 1 & 3

\end{pmatrix}

$$

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{1} \begin{pmatrix}

7 & 4 & 2 \\

3 & 2 & 1 \\

10 & -5 & 3

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

7 & 4 & 2 \\

3 & 2 & 1 \\

10 & -5 & 3

\end{pmatrix}$

よって、

$$

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix}

= A^{-1}

\begin{pmatrix}

-1 \\ 2 \\ 0

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

7 & 4 & 2 \\

3 & 2 & 1 \\

10 & -5 & 3

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

-1 \\ 2 \\ 0

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

7\cdot(-1) + 4\cdot2 + 2\cdot0 \\

3\cdot(-1) + 2\cdot2 + 1\cdot0 \\

10\cdot(-1) + (-5)\cdot2 + 3\cdot0

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-7 + 8 + 0 \\

-3 + 4 + 0 \\

-10 - 10 + 0

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 \\ 1 \\ -20

\end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

(1) $x=1, y=1, z=-20$

(2) 問題が不完全なため、解けません。