(1) $\sqrt{\frac{180}{n}}$ が整数となるような2桁の自然数 $n$ の値をすべて求めよ。 (2) 連続する6個の偶数の積 $k = 2 \times 4 \times \cdots \times A$ がある。$\frac{\sqrt{k}}{n}$ が自然数となるとき、$\frac{\sqrt{k}}{n}$ の最大値を求めよ。 (3) 一の位が0でない2桁の自然数 $A$ があり、この数の十の位の数字と一の位の数字を入れ替えた数を $B$ とする。$\sqrt{A+B}$ と $\sqrt{A-B}$ がともに自然数となるとき、$A$ の値を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{\frac{180}{n}}$ が整数となるような2桁の自然数 $n$ の値をすべて求めよ。

(2) 連続する6個の偶数の積 $k = 2 \times 4 \times \cdots \times A$ がある。$\frac{\sqrt{k}}{n}$ が自然数となるとき、$\frac{\sqrt{k}}{n}$ の最大値を求めよ。

(3) 一の位が0でない2桁の自然数 $A$ があり、この数の十の位の数字と一の位の数字を入れ替えた数を $B$ とする。$\sqrt{A+B}$ と $\sqrt{A-B}$ がともに自然数となるとき、$A$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

**(1)**

$\sqrt{\frac{180}{n}}$ が整数となる条件を考える。

まず、180を素因数分解すると、 $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ である。

したがって、$\sqrt{\frac{180}{n}} = \sqrt{\frac{2^2 \times 3^2 \times 5}{n}} = 2 \times 3 \times \sqrt{\frac{5}{n}}$

$\sqrt{\frac{180}{n}}$ が整数となるには、$\frac{180}{n}$ がある整数の2乗になる必要がある。つまり $n$ は $5 \times m^2$ の形で表せる。$n$ が2桁の自然数なので、$n$ は $10 \le n \le 99$ を満たす。

$n = 5m^2$ であるから、$10 \le 5m^2 \le 99$

$2 \le m^2 \le 19.8$

これを満たす整数 $m$ は、$m = 2, 3, 4$ である。

したがって、$n = 5 \times 2^2 = 20$, $n = 5 \times 3^2 = 45$, $n = 5 \times 4^2 = 80$

**(2)**

連続する6個の偶数の積 $k$ は、$k = 2 \times 4 \times 6 \times 8 \times 10 \times 12 = 2^6 \times (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6) = 2^6 \times 6! = 2^6 \times 720 = 46080$

$A = 12$ である。

$\frac{\sqrt{k}}{n}$ が自然数となるとき、$n$ は $\sqrt{k} = \sqrt{46080} = \sqrt{2^9 \times 3^2 \times 5} = 2^4 \times 3 \times \sqrt{2 \times 5} = 48\sqrt{10}$ を割り切る数である必要がある。

$\frac{\sqrt{k}}{n} = \frac{48\sqrt{10}}{n}$

$\frac{\sqrt{k}}{n} = \frac{\sqrt{2 \times 4 \times 6 \times 8 \times 10 \times 12}}{n} = \frac{\sqrt{46080}}{n}$

$\frac{\sqrt{k}}{n}$ が自然数となるためには、$k = 2 \times 4 \times 6 \times 8 \times 10 \times 12 = 46080$ が完全平方数とある整数の平方数の積で表される必要がある。

$\frac{\sqrt{k}}{n} = \frac{\sqrt{2 \times 4 \times 6 \times 8 \times 10 \times 12}}{n} = \frac{\sqrt{2^9 \times 3^2 \times 5}}{n} = \frac{2^4 \times 3 \times \sqrt{2 \times 5}}{n} = \frac{48\sqrt{10}}{n}$

$n$ は $48\sqrt{10}$ を割る数の中で最大のものを探す。

$\frac{\sqrt{k}}{n} = \frac{48\sqrt{10}}{n}$

この値を大きくするためには、$n$ は小さくする必要がある。

$n=1$ とすると$\sqrt{k}/n = 48\sqrt{10}$は整数とならない。

問題文を読み返すと$\sqrt{\frac{k}{n^2}}$が自然数となる時の$\frac{\sqrt{k}}{n}$の最大値という解釈でよい。

$\sqrt{k}=48\sqrt{10}$より、$k=48^2 \times 10 = 23040$

この時 $\frac{k}{n^2} = \frac{23040}{n^2}$ が平方数になるような最大の $\frac{\sqrt{k}}{n}$ を求める。

$\frac{k}{1} = 23040$ は平方数ではない。

$\sqrt{k}=48\sqrt{10}$ なので、nは$\sqrt{10}$を消す必要があり、その最小のnは$\sqrt{10}$。しかしnは自然数なので、nはkの素因数で構成される自然数でないといけない。

$\frac{\sqrt{46080}}{n}$は$\frac{48\sqrt{10}}{n}$であり、$n$ が $48$ を割る数であればよい。

$\frac{\sqrt{46080}}{n}$の最大値は$n=1$の時だが,$\sqrt{46080}$は整数ではないので、 $n = \sqrt{10}$の時,$\frac{48\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 48$となる。しかしnが自然数という条件なので、n = 10とした場合、$\frac{48\sqrt{10}}{10} = 4.8\sqrt{10} = 15.17$

$\frac{\sqrt{k}}{n} = \frac{\sqrt{2^9 \times 3^2 \times 5}}{n} = \frac{2^4 \times 3 \times \sqrt{2 \times 5}}{n} = \frac{48\sqrt{10}}{n}$

$n=1$の時、$48\sqrt{10}$より整数にはならない。$n=\sqrt{10}$とすると48

kが46080なので、nはkの平方因子で構成される整数でないといけない。

ここでn=48の時、$\frac{48\sqrt{10}}{48} = \sqrt{10} = 3.162$

$n=6$だと$\frac{48 \sqrt{10}}{6}=8\sqrt{10} = 25.3$

$n=16$だと$\frac{48\sqrt{10}}{16}=3\sqrt{10}=9.4$

$k = 46080 = 2^9 \times 3^2 \times 5$なので、

$48 \times 2^{2a} \times 3^{2b} \times 5^{2c}$と表せないといけない。

$n=\sqrt{k}=48\sqrt{10}$なので、$k/n^2$が整数である必要がある.なので整数が最大になるのは$n=1$の時

$\frac{\sqrt{46080}}{1} = 214.66$

$n = \sqrt{10}$が一番大きい整数である48になる。

n=10にすると15.2

k/48^2 = 10

n=24にすると$48\sqrt{10} /24 = 2 \sqrt{10} = 6.32$

n=12とすると$48\sqrt{10} /12 = 4\sqrt{10} = 12.6$

n=8とすると$48\sqrt{10} /8 = 6\sqrt{10} = 18.9$

n=4とすると$48\sqrt{10} /4 = 12\sqrt{10} = 37.9$

n=3とすると$48\sqrt{10} /3 = 16\sqrt{10} = 50.6$

n=2とすると$48\sqrt{10} /2 = 24\sqrt{10} = 75.9$

n=1とすると$48\sqrt{10} /1 = 48\sqrt{10} = 151.8$

しかしnは整数でなければならない。n=48$\sqrt{10}$

最終的な答えは$n = 48\sqrt{10}$

この問題が間違っている可能性あり。

$\sqrt{46080} = 214.6625$なので$48 \sqrt{10}$が正しい。

**(3)**

$A$ は一の位が0でない2桁の自然数なので、$A = 10x + y$ と表せる。ただし、$x$ は1から9までの整数、$y$ は1から9までの整数。

$B$ は $A$ の十の位の数字と一の位の数字を入れ替えた数なので、$B = 10y + x$ と表せる。

$A + B = (10x + y) + (10y + x) = 11x + 11y = 11(x+y)$

$A - B = (10x + y) - (10y + x) = 9x - 9y = 9(x-y)$

$\sqrt{A+B} = \sqrt{11(x+y)}$ と $\sqrt{A-B} = \sqrt{9(x-y)} = 3\sqrt{x-y}$ が共に自然数である必要がある。

$3\sqrt{x-y}$が自然数なので，$x-y = a^2$

$\sqrt{11(x+y)}$が自然数なので、$11(x+y) = b^2$

$x-y = a^2$

$11(x+y) = b^2$

$x+y = 11c^2$

$x$と$y$は整数なので$a^2とc^2$は自然数なので、$\sqrt{11}$が整数になる$x+y = 11$

$x-y = 1$なら$x=6 y=5$

$x-y = 4$なら$x=7.5 y=3.5$

$x-y = 9$なら$x=10 y=1$

したがって、$x-y = a^2$

$x+y=11$

$x-y=1$とすると、$x+y=11$なので$2x = 12$, $x = 6$, $y = 5$,

$x-y=4$とすると$x+y=11$なので$2x = 15$, $x = 7.5$, $y = 3.5$,

$x-y=9$とすると$x+y=11$なので$2x = 20$, $x = 10$, $y = 1$,

$x=6, y=5$の時

$A = 10x + y = 10(6)+5 = 65$

$\sqrt{A+B} = \sqrt{11(6+5)} = \sqrt{11^2} = 11$

$\sqrt{A-B} = 3\sqrt{6-5} = 3$

$x=10, y=1$は成り立たない。$x$は9以下なので。

3. 最終的な答え

(1) 20, 45, 80

(2) 48\sqrt{10}

(3) 65