与えられた連立一次方程式について、以下の2つの問題を解きます。 (1) 係数行列と拡大係数行列の階数を求めます。 (2) 連立一次方程式の解を求めます。 与えられた連立一次方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} x - y + 4z + 2w = 2 \\ x + z + 2w = 4 \\ 2x - y + 5z + 4w = 6 \\ x + y - 2z + 2w = 6 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式について、以下の2つの問題を解きます。

(1) 係数行列と拡大係数行列の階数を求めます。

(2) 連立一次方程式の解を求めます。

与えられた連立一次方程式は以下の通りです。

$$

\begin{cases}

x - y + 4z + 2w = 2 \\

x + z + 2w = 4 \\

2x - y + 5z + 4w = 6 \\

x + y - 2z + 2w = 6

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1) 係数行列と拡大係数行列を求め、それぞれの階数を計算します。

(2) 拡大係数行列を簡約化し、連立一次方程式の解を求めます。

係数行列 $A$ と拡大係数行列 $(A|b)$ は以下のようになります。

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & -1 & 4 & 2 \\

1 & 0 & 1 & 2 \\

2 & -1 & 5 & 4 \\

1 & 1 & -2 & 2

\end{pmatrix}

$$

$$

(A|b) = \begin{pmatrix}

1 & -1 & 4 & 2 & | & 2 \\

1 & 0 & 1 & 2 & | & 4 \\

2 & -1 & 5 & 4 & | & 6 \\

1 & 1 & -2 & 2 & | & 6

\end{pmatrix}

$$

拡大係数行列 $(A|b)$ を行基本変形を用いて簡約化します。

まず、2行目から1行目を引きます。3行目から1行目の2倍を引きます。4行目から1行目を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & 4 & 2 & | & 2 \\

0 & 1 & -3 & 0 & | & 2 \\

0 & 1 & -3 & 0 & | & 2 \\

0 & 2 & -6 & 0 & | & 4

\end{pmatrix}

$$

3行目から2行目を引きます。4行目から2行目の2倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & 4 & 2 & | & 2 \\

0 & 1 & -3 & 0 & | & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{pmatrix}

$$

1行目に2行目を加えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 2 & | & 4 \\

0 & 1 & -3 & 0 & | & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{pmatrix}

$$

簡約化された拡大係数行列から、次の連立方程式が得られます。

$$

\begin{cases}

x + z + 2w = 4 \\

y - 3z = 2

\end{cases}

$$

したがって、$z$ と $w$ をパラメータとして、解は次のようになります。

$$

\begin{cases}

x = 4 - z - 2w \\

y = 2 + 3z \\

z = z \\

w = w

\end{cases}

$$

係数行列 $A$ の階数は2です。拡大係数行列 $(A|b)$ の階数も2です。

3. 最終的な答え

(1) 係数行列の階数: 2

拡大係数行列の階数: 2

(2) 連立方程式の解:

$$

\begin{cases}

x = 4 - z - 2w \\

y = 2 + 3z \\

z = z \\

w = w

\end{cases}

$(ここで、$z$と$w$ は任意の実数)