数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + 2$ で与えられている。 (1) 初項 $a_1$ を求める。 (2) $n \geq 2$ のとき、一般項 $a_n$ を $n$ を用いて表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + 2$ で与えられている。

(1) 初項 $a_1$ を求める。

(2) $n \geq 2$ のとき、一般項 $a_n$ を $n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 初項 $a_1$ は $S_1$ に等しい。したがって、$S_n$ の式に $n=1$ を代入して $a_1$ を求める。

$S_1 = 1^3 + 2 = 1 + 2 = 3$

よって $a_1 = 3$。

(2) $n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$S_n = n^3 + 2$

$S_{n-1} = (n-1)^3 + 2 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + 2 = n^3 - 3n^2 + 3n + 1$

$a_n = (n^3 + 2) - (n^3 - 3n^2 + 3n + 1) = n^3 + 2 - n^3 + 3n^2 - 3n - 1 = 3n^2 - 3n + 1$

したがって、$n \geq 2$ のとき $a_n = 3n^2 - 3n + 1$ である。

$n=1$ のとき、$a_1 = 3(1)^2 - 3(1) + 1 = 3 - 3 + 1 = 1$ となるが、(1) より $a_1 = 3$ なので、$a_n = 3n^2 - 3n + 1$ は $n=1$ では成り立たない。

3. 最終的な答え

(1) 初項 $a_1 = 3$

(2) $n \geq 2$ のとき、一般項 $a_n = 3n^2 - 3n + 1$