問題は3つのパートに分かれています。 (1) 連立不等式の解を求める問題。 (2) 2つの整数 $a$, $b$ について、それぞれを11で割った余りが与えられたとき、$a+b$ と $ab$ を11で割った余りを求める問題。 (3) 5つの変量の偏差の2乗が与えられたとき、標準偏差を求める問題。 (4) 鉄塔の高さ $h$ と、仰角 $\alpha$, $\beta$ を用いて、距離 $AC$, $BC$ を表す問題。$\alpha = 45^\circ$, $\beta = 30^\circ$, $AB=140$m, $\angle ACB=150^\circ$ のとき、鉄塔の高さPCを小数第1位まで求める問題。 (5) 2次関数 $y=-4x^2+4px-(p+2)(p-2)$ について、平方完成、最大値の計算、y軸との共有点のy座標が-2となるときの$p$の値、および$p$が正の値の時のx軸との共有点の座標を求める問題。

1. 問題の内容

問題は3つのパートに分かれています。

(1) 連立不等式の解を求める問題。

(2) 2つの整数 $a$, $b$ について、それぞれを11で割った余りが与えられたとき、$a+b$ と $ab$ を11で割った余りを求める問題。

(3) 5つの変量の偏差の2乗が与えられたとき、標準偏差を求める問題。

(4) 鉄塔の高さ $h$ と、仰角 $\alpha$, $\beta$ を用いて、距離 $AC$, $BC$ を表す問題。$\alpha = 45^\circ$, $\beta = 30^\circ$, $AB=140$m, $\angle ACB=150^\circ$ のとき、鉄塔の高さPCを小数第1位まで求める問題。

(5) 2次関数 $y=-4x^2+4px-(p+2)(p-2)$ について、平方完成、最大値の計算、y軸との共有点のy座標が-2となるときの$p$の値、および$p$が正の値の時のx軸との共有点の座標を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 連立不等式

$x+7 < 6x-13$ より $5x > 20$ よって $x > 4$

$2x-6 \le 2(7-x)$ より $2x-6 \le 14-2x$ よって $4x \le 20$ よって $x \le 5$

したがって $4 < x \le 5$

(2) 整数 $a$, $b$ について

$a = 11k + 5$, $b = 11l + 7$ と表せる ($k$, $l$ は整数)

$a+b = 11k + 5 + 11l + 7 = 11(k+l) + 12 = 11(k+l+1) + 1$

よって $a+b$ を11で割った余りは 1

$ab = (11k+5)(11l+7) = 121kl + 77k + 55l + 35 = 11(11kl + 7k + 5l + 3) + 2$

よって $ab$ を11で割った余りは 2

(3) 標準偏差

偏差の2乗の平均は $\frac{9+81+64+25+1}{5} = \frac{180}{5} = 36$

標準偏差は $\sqrt{36} = 6$

(4) 鉄塔の問題

$\triangle APC$ において $\tan \alpha = \frac{PC}{AC}$ より $AC = \frac{PC}{\tan \alpha} = \frac{h}{\tan \alpha}$

$\triangle BPC$ において $\tan \beta = \frac{PC}{BC}$ より $BC = \frac{PC}{\tan \beta} = \frac{h}{\tan \beta}$

$\triangle ABC$ において余弦定理より

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cos \angle ACB$

$140^2 = (\frac{h}{\tan 45^\circ})^2 + (\frac{h}{\tan 30^\circ})^2 - 2 \frac{h}{\tan 45^\circ} \frac{h}{\tan 30^\circ} \cos 150^\circ$

$19600 = h^2 + 3h^2 - 2h^2 \sqrt{3} (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$19600 = h^2 + 3h^2 + 3h^2 = 7h^2$

$h^2 = \frac{19600}{7} = 2800$

$h = \sqrt{2800} = \sqrt{400 \cdot 7} = 20\sqrt{7} \approx 20 \cdot 2.646 = 52.92$

小数第1位までなので 52.9 m

(5) 2次関数

$y = -4x^2 + 4px - (p+2)(p-2) = -4(x^2 - px) - (p^2-4) = -4(x - \frac{p}{2})^2 + 4(\frac{p}{2})^2 - p^2 + 4 = -4(x - \frac{p}{2})^2 + p^2 - p^2 + 4 = -4(x - \frac{p}{2})^2 + 4$

よって $y$ の最大値は 4

$y$ 軸との共有点のy座標が-2のとき、$x=0$ なので

$y = -(p+2)(p-2) = -p^2 + 4 = -2$

$p^2 = 6$

$p = \pm \sqrt{6}$

$p = \sqrt{6}$ のとき $y = -4x^2 + 4\sqrt{6}x + 2 = 0$ を解く

$2x^2 - 2\sqrt{6}x - 1 = 0$

$x = \frac{2\sqrt{6} \pm \sqrt{24 + 8}}{4} = \frac{2\sqrt{6} \pm \sqrt{32}}{4} = \frac{2\sqrt{6} \pm 4\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} \pm 2\sqrt{2}}{2}$

したがって、x軸との共有点の座標は $(\frac{\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{2}, 0)$, $(\frac{\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}{2}, 0)$

3. 最終的な答え

(1) $4 < x \le 5$

(2) 1, 2

(3) 6

(4) $AC = \frac{h}{\tan \alpha}$, $BC = \frac{h}{\tan \beta}$, 52.9 m

(5) $y=-4(x-\frac{p}{2})^2 + 4$, 最大値は4, $p = \pm \sqrt{6}$, $(\frac{\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{2}, 0)$, $(\frac{\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}{2}, 0)$