以下の連立一次方程式をガウスの消去法で解きます。 $ \begin{cases} x + 2y - z + w = 0 \\ x + y - 2z - 3w = 0 \\ x + 2y - 3z - w = -4 \\ 2x - 3y + z + w = 3 \end{cases} $

はい、承知しました。ガウスの消去法を用いて連立一次方程式を解きます。ここでは、問題(1)を解きます。

1. 問題の内容

以下の連立一次方程式をガウスの消去法で解きます。

$$

\begin{cases}

x + 2y - z + w = 0 \\

x + y - 2z - 3w = 0 \\

x + 2y - 3z - w = -4 \\

2x - 3y + z + w = 3

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

ガウスの消去法を用いて、与えられた連立一次方程式を解きます。まず、拡大係数行列を作成します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & 1 & 0 \\

1 & 1 & -2 & -3 & 0 \\

1 & 2 & -3 & -1 & -4 \\

2 & -3 & 1 & 1 & 3

\end{bmatrix}

$$

1行目を基準にして、2行目、3行目、4行目の1列目を0にします。

2行目: 2行目 - 1行目

3行目: 3行目 - 1行目

4行目: 4行目 - 2 * 1行目

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & 1 & 0 \\

0 & -1 & -1 & -4 & 0 \\

0 & 0 & -2 & -2 & -4 \\

0 & -7 & 3 & -1 & 3

\end{bmatrix}

$$

2行目を基準にして、4行目の2列目を0にします。

4行目: 4行目 - 7 * 2行目

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & 1 & 0 \\

0 & -1 & -1 & -4 & 0 \\

0 & 0 & -2 & -2 & -4 \\

0 & 0 & 10 & 27 & 3

\end{bmatrix}

$$

3行目を基準にして、4行目の3列目を0にします。

4行目: 4行目 + 5 * 3行目

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & 1 & 0 \\

0 & -1 & -1 & -4 & 0 \\

0 & 0 & -2 & -2 & -4 \\

0 & 0 & 0 & 17 & -17

\end{bmatrix}

$$

これで階段行列になりました。後退代入を行います。

4行目より、$17w = -17$ なので、$w = -1$。

3行目より、$-2z - 2w = -4$なので、$-2z - 2(-1) = -4$。したがって、$-2z + 2 = -4$なので、$-2z = -6$。よって、$z = 3$。

2行目より、$-y - z - 4w = 0$なので、$-y - 3 - 4(-1) = 0$。したがって、$-y - 3 + 4 = 0$なので、$-y + 1 = 0$。よって、$y = 1$。

1行目より、$x + 2y - z + w = 0$なので、$x + 2(1) - 3 + (-1) = 0$。したがって、$x + 2 - 3 - 1 = 0$なので、$x - 2 = 0$。よって、$x = 2$。

3. 最終的な答え

解は、$x = 2, y = 1, z = 3, w = -1$ です。