$0^\circ < \theta < 180^\circ$のとき、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{2}$が与えられている。この条件下で、$\sin\theta + \cos\theta$の値と$\cos\theta - \sin\theta$の値を求める。

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 180^\circ$のとき、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{2}$が与えられている。この条件下で、$\sin\theta + \cos\theta$の値と$\cos\theta - \sin\theta$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta + \cos\theta$の値を求める。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2$を計算する。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$であるから、

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$

問題文より、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{2}$であるから、

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) = 1 - 1 = 0$

したがって、$\sin\theta + \cos\theta = 0$

(2) $\cos\theta - \sin\theta$の値を求める。

$(\cos\theta - \sin\theta)^2$を計算する。

$(\cos\theta - \sin\theta)^2 = \cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$であるから、

$(\cos\theta - \sin\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$

問題文より、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{2}$であるから、

$(\cos\theta - \sin\theta)^2 = 1 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + 1 = 2$

したがって、$\cos\theta - \sin\theta = \pm\sqrt{2}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$のとき、$\sin\theta > 0$。

$\sin\theta + \cos\theta = 0$より、$\cos\theta = -\sin\theta < 0$

$\cos\theta - \sin\theta = -\sin\theta - \sin\theta = -2\sin\theta$

$\sin\theta > 0$であるので、$\cos\theta - \sin\theta < 0$

したがって、$\cos\theta - \sin\theta = -\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta + \cos\theta = 0$

(2) $\cos\theta - \sin\theta = -\sqrt{2}$