数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 1$, $a_2 = \frac{1}{6}$, $a_{n+2} = \frac{a_n a_{n+1}}{7a_n - 12a_{n+1}}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義される。 (1) 全ての自然数 $n$ に対して $\frac{1}{a_{n+2}} - \frac{\alpha}{a_{n+1}} = \beta \left(\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{\alpha}{a_n}\right)$ が成り立つような実数の組 $(\alpha, \beta)$ を全て求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 1$, $a_2 = \frac{1}{6}$, $a_{n+2} = \frac{a_n a_{n+1}}{7a_n - 12a_{n+1}}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義される。

(1) 全ての自然数 $n$ に対して $\frac{1}{a_{n+2}} - \frac{\alpha}{a_{n+1}} = \beta \left(\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{\alpha}{a_n}\right)$ が成り立つような実数の組 $(\alpha, \beta)$ を全て求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた漸化式を変形する。

$a_{n+2} = \frac{a_n a_{n+1}}{7a_n - 12a_{n+1}}$ の両辺の逆数をとると、

$\frac{1}{a_{n+2}} = \frac{7a_n - 12a_{n+1}}{a_n a_{n+1}} = \frac{7}{a_{n+1}} - \frac{12}{a_n}$

$\frac{1}{a_{n+2}} = \frac{7}{a_{n+1}} - \frac{12}{a_n}$

与えられた式と比較するために、$\frac{1}{a_{n+2}} = \frac{7}{a_{n+1}} - \frac{12}{a_n}$ を $\frac{1}{a_{n+2}} - \frac{\alpha}{a_{n+1}} = \beta \left(\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{\alpha}{a_n}\right)$ に代入する。

$\frac{7}{a_{n+1}} - \frac{12}{a_n} - \frac{\alpha}{a_{n+1}} = \frac{\beta}{a_{n+1}} - \frac{\alpha \beta}{a_n}$

$\frac{7-\alpha}{a_{n+1}} - \frac{12}{a_n} = \frac{\beta}{a_{n+1}} - \frac{\alpha \beta}{a_n}$

係数を比較すると、

$7 - \alpha = \beta$ かつ $12 = \alpha \beta$

$7 - \alpha = \beta$ より、$\beta = 7 - \alpha$。これを $12 = \alpha \beta$ に代入すると、

$12 = \alpha (7-\alpha)$

$12 = 7\alpha - \alpha^2$

$\alpha^2 - 7\alpha + 12 = 0$

$(\alpha - 3)(\alpha - 4) = 0$

$\alpha = 3, 4$

$\alpha = 3$ のとき、$\beta = 7 - 3 = 4$

$\alpha = 4$ のとき、$\beta = 7 - 4 = 3$

よって、$(\alpha, \beta) = (3, 4), (4, 3)$

(2) $(\alpha, \beta) = (3, 4)$ のとき、$\frac{1}{a_{n+2}} - \frac{3}{a_{n+1}} = 4 \left(\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{3}{a_n}\right)$

$(\alpha, \beta) = (4, 3)$ のとき、$\frac{1}{a_{n+2}} - \frac{4}{a_{n+1}} = 3 \left(\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{4}{a_n}\right)$

$b_n = \frac{1}{a_{n+1}} - \frac{3}{a_n}$ とすると $b_{n+1} = 4 b_n$. $b_1 = \frac{1}{a_2} - \frac{3}{a_1} = \frac{1}{\frac{1}{6}} - \frac{3}{1} = 6 - 3 = 3$

$b_n = 3 \cdot 4^{n-1} = \frac{1}{a_{n+1}} - \frac{3}{a_n}$

$c_n = \frac{1}{a_{n+1}} - \frac{4}{a_n}$ とすると $c_{n+1} = 3 c_n$. $c_1 = \frac{1}{a_2} - \frac{4}{a_1} = \frac{1}{\frac{1}{6}} - \frac{4}{1} = 6 - 4 = 2$

$c_n = 2 \cdot 3^{n-1} = \frac{1}{a_{n+1}} - \frac{4}{a_n}$

$(\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{3}{a_n}) - (\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{4}{a_n}) = \frac{1}{a_n} = 3 \cdot 4^{n-1} - 2 \cdot 3^{n-1}$

$a_n = \frac{1}{3 \cdot 4^{n-1} - 2 \cdot 3^{n-1}}$

3. 最終的な答え

(1) $(\alpha, \beta) = (3, 4), (4, 3)$

(2) $a_n = \frac{1}{3 \cdot 4^{n-1} - 2 \cdot 3^{n-1}}$