はい、承知いたしました。OCRの結果を元に、順番に問題を解いていきます。

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4. 問題の内容**

2次関数 $y = x^2 + 2mx + m^2 - 2m + 3$ について、以下の問いに答える。

(1) この関数の最小値を $m$ の式で表す。

(2) この関数の最小値が -1 であるとき、$m$ の値を求める。

**解き方の手順**

(1) 平方完成を行い、頂点のy座標を求めることで最小値を求める。

$y = x^2 + 2mx + m^2 - 2m + 3$

$y = (x+m)^2 - m^2 + m^2 - 2m + 3$

$y = (x+m)^2 - 2m + 3$

よって、最小値は $-2m + 3$

(2) 最小値が -1 であることから、

$-2m + 3 = -1$

$-2m = -4$

$m = 2$

**最終的な答え**

(1) 最小値: $-2m + 3$

(2) $m = 2$

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5. 問題の内容**

$a$は定数とする。関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 1$ ($0 \le x \le 2$) の最小値を、次の場合について、それぞれ求める。

(1) $a < 0$

(2) $0 \le a \le 2$

(3) $2 < a$

**解き方の手順**

まず、関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2ax + a^2 + 1 = (x - a)^2 + 1$

この関数の頂点は $(a, 1)$ である。定義域は $0 \le x \le 2$ である。

(1) $a < 0$ のとき、頂点は定義域の左側にあるため、$x=0$ で最小値をとる。

$x = 0$ のとき $y = (0-a)^2 + 1 = a^2 + 1$

(2) $0 \le a \le 2$ のとき、頂点は定義域内にあるため、$x=a$ で最小値をとる。

$x = a$ のとき $y = (a-a)^2 + 1 = 1$

(3) $2 < a$ のとき、頂点は定義域の右側にあるため、$x=2$ で最小値をとる。

$x = 2$ のとき $y = (2-a)^2 + 1 = a^2 - 4a + 4 + 1 = a^2 - 4a + 5$

**最終的な答え**

(1) $a < 0$ のとき、最小値は $a^2 + 1$

(2) $0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $1$

(3) $2 < a$ のとき、最小値は $a^2 - 4a + 5$

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6. 問題の内容**

次の様な2次関数を求める。

(1) グラフが3点 (3, 0), (-1, 0), (2, 6) を通る。

(2) グラフの頂点は放物線 $y = 2x^2 + 4x + 1$ の頂点と同じであり、$y$軸と点(0, 2)で交わる。

(3) $x = 2$ で最大値 8 をとり、$x = 1$ で $y = 5$ となる。

**解き方の手順**

(1) 3点 (3, 0), (-1, 0), (2, 6) を通ることから、$y=a(x-3)(x+1)$ とおける。

点(2,6)を通るから、$6 = a(2-3)(2+1) = -3a$。したがって、$a = -2$。

よって、$y = -2(x-3)(x+1) = -2(x^2 - 2x - 3) = -2x^2 + 4x + 6$

(2) $y = 2x^2 + 4x + 1 = 2(x^2 + 2x) + 1 = 2(x+1)^2 - 2 + 1 = 2(x+1)^2 - 1$

よって、頂点は (-1, -1) である。

求める2次関数は $y = a(x+1)^2 - 1$ とおける。

y軸と(0, 2)で交わるから、 $2 = a(0+1)^2 - 1 = a - 1$。したがって、$a = 3$。

よって、$y = 3(x+1)^2 - 1 = 3(x^2 + 2x + 1) - 1 = 3x^2 + 6x + 3 - 1 = 3x^2 + 6x + 2$

(3) $x = 2$ で最大値 8 をとることから、$y = a(x-2)^2 + 8$ とおける。

$x = 1$ で $y = 5$ となるから、$5 = a(1-2)^2 + 8 = a + 8$。したがって、$a = -3$。

よって、$y = -3(x-2)^2 + 8 = -3(x^2 - 4x + 4) + 8 = -3x^2 + 12x - 12 + 8 = -3x^2 + 12x - 4$

**最終的な答え**

(1) $y = -2x^2 + 4x + 6$

(2) $y = 3x^2 + 6x + 2$

(3) $y = -3x^2 + 12x - 4$