問題は、2x3行列Aの列ベクトル表示を($a_1$, $a_2$, $a_3$)とするとき、以下の問いに答えるものです。 (1) $A \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ をAの列ベクトルで表す。 (2) $A \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ の列ベクトル表示を求める。

1. 問題の内容

問題は、2x3行列Aの列ベクトル表示を($a_1$, $a_2$, $a_3$)とするとき、以下の問いに答えるものです。

(1) $A \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ をAの列ベクトルで表す。

(2) $A \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ の列ベクトル表示を求める。

2. 解き方の手順

(1)

行列Aを $A = (a_1\ a_2\ a_3)$ と表すと、$A \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ は、$a_1$, $a_2$, $a_3$の線形結合で表すことができます。

$A \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = -1 a_1 + 2 a_2 - 3 a_3$

(2)

$A \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ の各列を求め、それぞれを$a_1$, $a_2$, $a_3$の線形結合で表します。

$A \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = (A \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\ A \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix})$

$A \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = 0 a_1 + 2 a_2 + 4 a_3 = 2 a_2 + 4 a_3$

$A \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 a_1 + 3 a_2 + 0 a_3 = a_1 + 3 a_2$

よって、$A \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = (2 a_2 + 4 a_3\ a_1 + 3 a_2)$

3. 最終的な答え

(1) $A \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = -a_1 + 2a_2 - 3a_3$

(2) $A \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = (2 a_2 + 4 a_3\ a_1 + 3 a_2)$