ある商品Aの売り上げを最大にするための価格設定を求める問題です。 初期価格が60円で、その時の販売個数は400個です。価格を1円上げるごとに販売個数が5個ずつ減少し、売り上げ高が最大となる価格を求めます。売り上げ高を $y$ 円、価格を60円から $x$ 円値上げしたとすると、 (1) $x$ の範囲を求める。 (2) $y$ を $x$ の式で表し、最大値を求める。 (3) 売り上げ高が最大となる商品の価格を求める。

1. 問題の内容

ある商品Aの売り上げを最大にするための価格設定を求める問題です。

初期価格が60円で、その時の販売個数は400個です。価格を1円上げるごとに販売個数が5個ずつ減少し、売り上げ高が最大となる価格を求めます。売り上げ高を $y$ 円、価格を60円から $x$ 円値上げしたとすると、

(1) $x$ の範囲を求める。

(2) $y$ を $x$ の式で表し、最大値を求める。

(3) 売り上げ高が最大となる商品の価格を求める。

2. 解き方の手順

まず、1日に売れる個数を $x$ を用いて表します。価格を $x$ 円値上げすると、1日に売れる個数は $400 - 5x$ 個となります。

$x \ge 0$ および $400 - 5x \ge 0$ より、$5x \le 400$ となり、$x \le 80$ となります。したがって、$0 \le x \le 80$ となります。よって、コサ = 80。

次に、売り上げ高 $y$ を $x$ を用いて表します。

$y = (60 + x)(400 - 5x)$

$y = 24000 - 300x + 400x - 5x^2$

$y = -5x^2 + 100x + 24000$

$y = -5(x^2 - 20x) + 24000$

$y = -5(x^2 - 20x + 100 - 100) + 24000$

$y = -5((x - 10)^2 - 100) + 24000$

$y = -5(x - 10)^2 + 500 + 24000$

$y = -5(x - 10)^2 + 24500$

したがって、$y = -5(x^2 - 20x - 4800)$となります。よって、シ = 5, スセ = 20。

$0 \le x \le 80$ の範囲で、$y$ が最大となるのは、$x = 10$ のときです。

したがって、ソタ = 10。

商品の売り上げ高が最大となる価格は、$60 + x = 60 + 10 = 70$ 円です。よって、チツ = 70。

3. 最終的な答え

ケ = 5

コサ = 80

シ = 5

スセ = 20

ソタ = 10

チツ = 70