与えられた4x4行列の逆行列を求める問題です。行列を$A$とすると、$A$は以下の通りです。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 2 & -3 \\ 4 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の逆行列を求める問題です。行列を$A$とすると、$A$は以下の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 2 & -3 \\ 4 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

逆行列を求めるには、掃き出し法を用いるのが一般的です。与えられた行列$A$に単位行列$I$を並べた拡大行列$[A|I]$を作成し、行基本変形を繰り返して$A$の部分を単位行列に変形します。変形後の行列は$[I|A^{-1}]$となり、$A^{-1}$が求める逆行列となります。

まず、拡大行列$[A|I]$を作成します。

$[A|I] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & -1 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & 2 & -3 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & -1 & 3 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、行基本変形を行います。

1. 2行目に1行目の2倍を加える($R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$)。

2. 3行目に1行目の2倍を加える($R_3 \rightarrow R_3 + 2R_1$)。

3. 4行目に1行目の-4倍を加える($R_4 \rightarrow R_4 - 4R_1$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 & | & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 6 & -5 & | & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -9 & 7 & | & -4 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、2行目と3行目を入れ替えます($R_2 \leftrightarrow R_3$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 6 & -5 & | & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 & | & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -9 & 7 & | & -4 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、4行目に2行目を加える($R_4 \rightarrow R_4 + R_2$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 6 & -5 & | & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 & | & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 & | & -2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

次に、3行目の3/5倍を4行目に加える($R_4 \rightarrow R_4 + \frac{3}{5}R_3$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 6 & -5 & | & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 & | & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{5} & | & -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} & 1 & 1 \end{pmatrix}$

次に、4行目を5倍します($R_4 \rightarrow 5R_4$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 6 & -5 & | & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 & | & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -4 & 3 & 5 & 5 \end{pmatrix}$

次に、3行目に4行目の3倍を加える($R_3 \rightarrow R_3 + 3R_4$)。

次に、2行目に4行目の5倍を加える($R_2 \rightarrow R_2 + 5R_4$)。

次に、1行目に4行目を加える($R_1 \rightarrow R_1 + R_4$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & | & -3 & 3 & 5 & 5 \\ 0 & -1 & 6 & 0 & | & -18 & 15 & 26 & 25 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & | & -10 & 10 & 15 & 15 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -4 & 3 & 5 & 5 \end{pmatrix}$

次に、3行目を5で割る($R_3 \rightarrow \frac{1}{5}R_3$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & | & -3 & 3 & 5 & 5 \\ 0 & -1 & 6 & 0 & | & -18 & 15 & 26 & 25 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & -2 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -4 & 3 & 5 & 5 \end{pmatrix}$

次に、2行目から3行目の6倍を引く($R_2 \rightarrow R_2 - 6R_3$)。

次に、1行目から3行目の2倍を引く($R_1 \rightarrow R_1 - 2R_3$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & | & -6 & 3 & 8 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & -2 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -4 & 3 & 5 & 5 \end{pmatrix}$

最後に、2行目に-1を掛ける($R_2 \rightarrow -R_2$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 6 & -3 & -8 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & -2 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & -4 & 3 & 5 & 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

逆行列は次のようになります。

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 6 & -3 & -8 & -7 \\ -2 & 2 & 3 & 3 \\ -4 & 3 & 5 & 5 \end{pmatrix}$