平面の標準基底 $\{e_1, e_2\}$ に関して、一次変換 $f$ が $f(2e_1 + 3e_2) = 10e_1 + 9e_2$、 $f(-3e_1 - 5e_2) = -14e_1 - 14e_2$ を満たすとき、以下の問いに答える問題です。 (i) 変換 $f$ の表現行列 $A$ を求める。 (ii) $f(4e_1 - e_2)$ を $e_1$ と $e_2$ の一次結合で表す。 (iii) 表現行列 $A$ の固有値を小さい順に求める。また、各固有値に対応する固有ベクトルの1つを求める。

1. 問題の内容

平面の標準基底 $\{e_1, e_2\}$ に関して、一次変換 $f$ が $f(2e_1 + 3e_2) = 10e_1 + 9e_2$、 $f(-3e_1 - 5e_2) = -14e_1 - 14e_2$ を満たすとき、以下の問いに答える問題です。

(i) 変換 $f$ の表現行列 $A$ を求める。

(ii) $f(4e_1 - e_2)$ を $e_1$ と $e_2$ の一次結合で表す。

(iii) 表現行列 $A$ の固有値を小さい順に求める。また、各固有値に対応する固有ベクトルの1つを求める。

2. 解き方の手順

(i) 表現行列 $A$ を求める。$f(e_1) = ae_1 + be_2$, $f(e_2) = ce_1 + de_2$ とおくと、

$A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ となる。

$2f(e_1) + 3f(e_2) = 10e_1 + 9e_2$

$-3f(e_1) - 5f(e_2) = -14e_1 - 14e_2$

これを $f(e_1)$ と $f(e_2)$ について解く。

$10f(e_1) + 15f(e_2) = 50e_1 + 45e_2$

$-9f(e_1) - 15f(e_2) = -42e_1 - 42e_2$

よって $f(e_1) = 8e_1 + 3e_2$

$6f(e_1) + 9f(e_2) = 30e_1 + 27e_2$

$-6f(e_1) - 10f(e_2) = -28e_1 - 28e_2$

よって $-f(e_2) = 2e_1 - e_2$

$f(e_2) = -2e_1 + e_2$

したがって、$A = \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

(ii) $f(4e_1 - e_2)$ を求める。

$f(4e_1 - e_2) = 4f(e_1) - f(e_2) = 4(8e_1 + 3e_2) - (-2e_1 + e_2) = 32e_1 + 12e_2 + 2e_1 - e_2 = 34e_1 + 11e_2$

(iii) 固有値を求める。

$\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 8 - \lambda & -2 \\ 3 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = (8 - \lambda)(1 - \lambda) - (-2)(3) = 8 - 8\lambda - \lambda + \lambda^2 + 6 = \lambda^2 - 9\lambda + 14 = (\lambda - 2)(\lambda - 7) = 0$

よって固有値は $\lambda = 2, 7$ である。

$\lambda = 2$ のとき

$\begin{pmatrix} 6 & -2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x - y = 0$ なので $y = 3x$。固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\lambda = 7$ のとき

$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x - 2y = 0$ なので $x = 2y$。固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

もしくは$\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1): 8

(2): -2

(3): 3

(4): 1

(5): 34

(6): 11

(7): 2

(8): 7

(9): 3

(10): 2