不等式 $n < 2\sqrt{13} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求め、実数 $a, b$ を $a = 2\sqrt{13} - n$, $b = \frac{1}{a}$ で定める。このとき、$b$ を $b = \frac{p + 2\sqrt{13}}{q}$ の形で表し、さらに $a^2 - 9b^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $n < 2\sqrt{13} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求め、実数 $a, b$ を $a = 2\sqrt{13} - n$, $b = \frac{1}{a}$ で定める。このとき、$b$ を $b = \frac{p + 2\sqrt{13}}{q}$ の形で表し、さらに $a^2 - 9b^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(ア) $2\sqrt{13}$ の値を評価します。$\sqrt{13}$ は $\sqrt{9} = 3$ と $\sqrt{16} = 4$ の間にあるので、$3 < \sqrt{13} < 4$ です。より正確には、$\sqrt{13} \approx 3.6$ です。

したがって、$2\sqrt{13}$ は $2 \times 3 = 6$ と $2 \times 4 = 8$ の間にあるので、$6 < 2\sqrt{13} < 8$ です。$2\sqrt{13} \approx 2 \times 3.6 = 7.2$ であるため、 $n = 7$ であることがわかります。

(イとウ) $a = 2\sqrt{13} - 7$ であり、$b = \frac{1}{a}$ です。したがって、

$b = \frac{1}{2\sqrt{13} - 7}$ となります。

$b$ を $p+q\sqrt{13}$ の形にするために、分母を有理化します。

$b = \frac{1}{2\sqrt{13} - 7} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{(2\sqrt{13} - 7)(2\sqrt{13} + 7)} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{(2\sqrt{13})^2 - 7^2} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{4 \times 13 - 49} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{52 - 49} = \frac{7 + 2\sqrt{13}}{3}$

したがって、イは7、ウは3です。

(エオカ) $a^2 - 9b^2$ の値を計算します。$a = 2\sqrt{13} - 7$ であり、$b = \frac{7 + 2\sqrt{13}}{3}$ です。

$a^2 = (2\sqrt{13} - 7)^2 = 4 \times 13 - 28\sqrt{13} + 49 = 52 - 28\sqrt{13} + 49 = 101 - 28\sqrt{13}$

$9b^2 = 9(\frac{7 + 2\sqrt{13}}{3})^2 = 9 \times \frac{(7 + 2\sqrt{13})^2}{9} = (7 + 2\sqrt{13})^2 = 49 + 28\sqrt{13} + 4 \times 13 = 49 + 28\sqrt{13} + 52 = 101 + 28\sqrt{13}$

$a^2 - 9b^2 = (101 - 28\sqrt{13}) - (101 + 28\sqrt{13}) = 101 - 28\sqrt{13} - 101 - 28\sqrt{13} = -56\sqrt{13}$

したがって、エオカは-56です。

3. 最終的な答え

ア: 7

イ: 7

ウ: 3

エオカ: -56