不等式 $n < 2\sqrt{13} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求める。次に、$a = 2\sqrt{13} - n$ と $b = \frac{1}{a}$ で定義される実数 $a, b$ について、$b$ を簡単な形で表し、最後に $a^2 - 9b^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

不等式 $n < 2\sqrt{13} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求める。次に、$a = 2\sqrt{13} - n$ と $b = \frac{1}{a}$ で定義される実数 $a, b$ について、$b$ を簡単な形で表し、最後に $a^2 - 9b^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(ア) $n < 2\sqrt{13} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求める。

$\sqrt{13} \approx 3.6$ なので、$2\sqrt{13} \approx 2 \times 3.6 = 7.2$ である。

したがって、$7 < 2\sqrt{13} < 8$ となり、$n=7$ である。

(イ、ウ) $a = 2\sqrt{13} - 7$、$b = \frac{1}{a}$ なので、

$b = \frac{1}{2\sqrt{13} - 7}$ を計算する。

分母を有理化するために、$2\sqrt{13} + 7$ を分子と分母にかける。

$b = \frac{1}{2\sqrt{13} - 7} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{(2\sqrt{13} - 7)(2\sqrt{13} + 7)} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{(2\sqrt{13})^2 - 7^2} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{4 \times 13 - 49} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{52 - 49} = \frac{7 + 2\sqrt{13}}{3}$

よって、イ = 7、ウ = 3 である。

(エオカ) $a^2 - 9b^2$ を計算する。

$a = 2\sqrt{13} - 7$ であり、$b = \frac{1}{a}$なので、$9b^2 = \frac{9}{a^2}$ である。

$a^2 = (2\sqrt{13} - 7)^2 = (2\sqrt{13})^2 - 2(2\sqrt{13})(7) + 7^2 = 4 \times 13 - 28\sqrt{13} + 49 = 52 - 28\sqrt{13} + 49 = 101 - 28\sqrt{13}$

$a^2 - 9b^2 = a^2 - \frac{9}{a^2}$

$9b^2 = 9 (\frac{7 + 2\sqrt{13}}{3})^2 = (\frac{7 + 2\sqrt{13}}{1})^2 = \frac{9}{(2\sqrt{13}-7)^2}$

$9b^2= \frac{9(7+2\sqrt{13})^2}{9}= (7+2\sqrt{13})^2= 49 + 28\sqrt{13}+ 52 = 101+28\sqrt{13}$

$a^2 - 9b^2 = (2\sqrt{13}-7)^2 - 9 (\frac{1}{2\sqrt{13}-7})^2 = 101-28\sqrt{13}- \frac{9}{101-28\sqrt{13}}$

$a^2-9b^2 = a^2 - 9 \times \frac{1}{a^2}=a^2 - 9a^{-2}= (2\sqrt{13}-7)^2 - 9 (\frac{7 + 2\sqrt{13}}{3})^2 = (101 - 28\sqrt{13}) - (101+28\sqrt{13}) = -56\sqrt{13}$

$a^2 - 9b^2 = a^2 - 9 (\frac{1}{a})^2 = a^2 - \frac{9}{a^2}$

$a^2 = (2\sqrt{13} - 7)^2 = 4(13) - 2(2\sqrt{13})(7) + 49 = 52 - 28\sqrt{13} + 49 = 101 - 28\sqrt{13}$

$b = \frac{7 + 2\sqrt{13}}{3}$, $b^2 = (\frac{7 + 2\sqrt{13}}{3})^2 = \frac{49 + 28\sqrt{13} + 52}{9} = \frac{101 + 28\sqrt{13}}{9}$

$a^2 - 9b^2 = 101 - 28\sqrt{13} - 9(\frac{101 + 28\sqrt{13}}{9}) = 101 - 28\sqrt{13} - (101 + 28\sqrt{13}) = -56\sqrt{13}$

したがって、エオカ = -56 である。

3. 最終的な答え

ア = 7

イ = 7

ウ = 3

エオカ = -56