等差数列 $\{a_n\}$ があり、$a_2 = 7$、$a_3 + a_4 + a_5 = 39$ を満たしています。また、数列 $\{b_n\}$ があり、$b_1 = 1$、$b_{n+1} - b_n = a_n$ を満たしています。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) $\sum_{k=1}^n a_k a_{k+1}$ を求めよ。 (3) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。 (4) $\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k b_{k+1}}$ を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ があり、$a_2 = 7$、$a_3 + a_4 + a_5 = 39$ を満たしています。また、数列 $\{b_n\}$ があり、$b_1 = 1$、$b_{n+1} - b_n = a_n$ を満たしています。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) $\sum_{k=1}^n a_k a_{k+1}$ を求めよ。

(3) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

(4) $\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k b_{k+1}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ の公差を $d$ とすると、$a_2 = a_1 + d = 7$、$a_3 + a_4 + a_5 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) = 3a_1 + 9d = 39$。

よって、$a_1 + 3d = 13$。

$a_1 + d = 7$ と $a_1 + 3d = 13$ から、$2d = 6$ より $d = 3$。

$a_1 + 3 = 7$ より $a_1 = 4$。

したがって、$a_n = a_1 + (n-1)d = 4 + (n-1)3 = 3n + 1$。

(2) $a_k = 3k + 1$、$a_{k+1} = 3(k+1) + 1 = 3k + 4$ より、$a_k a_{k+1} = (3k + 1)(3k + 4) = 9k^2 + 15k + 4$。

$\sum_{k=1}^n a_k a_{k+1} = \sum_{k=1}^n (9k^2 + 15k + 4) = 9 \sum_{k=1}^n k^2 + 15 \sum_{k=1}^n k + 4 \sum_{k=1}^n 1$。

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^n 1 = n$ より、

$\sum_{k=1}^n a_k a_{k+1} = 9 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 15 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n$

$= \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{15n(n+1)}{2} + 4n$

$= \frac{n}{2} [3(n+1)(2n+1) + 15(n+1) + 8]$

$= \frac{n}{2} [3(2n^2 + 3n + 1) + 15n + 15 + 8]$

$= \frac{n}{2} [6n^2 + 9n + 3 + 15n + 23]$

$= \frac{n}{2} [6n^2 + 24n + 26] = n(3n^2 + 12n + 13)$。

(3) $b_{n+1} - b_n = a_n = 3n + 1$。

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k + 1) = 1 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 1 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 1 + \frac{3n^2 - 3n}{2} + n - 1 = \frac{3n^2 - 3n + 2n}{2} = \frac{3n^2 - n}{2}$。

(4) $\frac{a_k}{b_k b_{k+1}} = \frac{b_{k+1} - b_k}{b_k b_{k+1}} = \frac{1}{b_k} - \frac{1}{b_{k+1}}$ より、

$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k b_{k+1}} = \sum_{k=1}^n (\frac{1}{b_k} - \frac{1}{b_{k+1}}) = \frac{1}{b_1} - \frac{1}{b_{n+1}}$。

$b_1 = 1$、$b_{n+1} = \frac{3(n+1)^2 - (n+1)}{2} = \frac{3(n^2 + 2n + 1) - n - 1}{2} = \frac{3n^2 + 6n + 3 - n - 1}{2} = \frac{3n^2 + 5n + 2}{2}$ より、

$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k b_{k+1}} = 1 - \frac{2}{3n^2 + 5n + 2} = \frac{3n^2 + 5n + 2 - 2}{3n^2 + 5n + 2} = \frac{3n^2 + 5n}{3n^2 + 5n + 2} = \frac{n(3n+5)}{(n+1)(3n+2)}$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3n + 1$

(2) $\sum_{k=1}^n a_k a_{k+1} = n(3n^2 + 12n + 13)$

(3) $b_n = \frac{3n^2 - n}{2}$

(4) $\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k b_{k+1}} = \frac{n(3n+5)}{(n+1)(3n+2)}$