放物線 $y = x^2 - 2x - 3$ を原点に関して対称移動した後、$x$ 軸方向に平行移動した放物線が、点 $(-1, 0)$ を通る。この放物線の2次関数を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x - 3$ を原点に関して対称移動した後、$x$ 軸方向に平行移動した放物線が、点 $(-1, 0)$ を通る。この放物線の2次関数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2 - 2x - 3$ を原点に関して対称移動する。原点に関する対称移動は、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えることで行われる。

よって、

$-y = (-x)^2 - 2(-x) - 3$

$-y = x^2 + 2x - 3$

$y = -x^2 - 2x + 3$

(2) $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動する。$x$ を $x - p$ に置き換えることで行われる。

$y = -(x - p)^2 - 2(x - p) + 3$

$y = -(x^2 - 2px + p^2) - 2x + 2p + 3$

$y = -x^2 + 2px - p^2 - 2x + 2p + 3$

$y = -x^2 + (2p - 2)x - p^2 + 2p + 3$

(3) この放物線が点 $(-1, 0)$ を通るから、$x = -1$、$y = 0$ を代入する。

$0 = -(-1)^2 + (2p - 2)(-1) - p^2 + 2p + 3$

$0 = -1 - 2p + 2 - p^2 + 2p + 3$

$0 = -p^2 + 4$

$p^2 = 4$

$p = \pm 2$

(4) $p = 2$ のとき

$y = -x^2 + (2(2) - 2)x - 2^2 + 2(2) + 3$

$y = -x^2 + 2x - 4 + 4 + 3$

$y = -x^2 + 2x + 3$

$p = -2$ のとき

$y = -x^2 + (2(-2) - 2)x - (-2)^2 + 2(-2) + 3$

$y = -x^2 - 6x - 4 - 4 + 3$

$y = -x^2 - 6x - 5$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 2x + 3$ または $y = -x^2 - 6x - 5$