問題53は、与えられた2次方程式が重解を持つときの定数 $k$ の値を求め、その重解も求める問題です。具体的には、以下の2つの2次方程式について考えます。 (1) $x^2 - 10x + k = 0$ (2) $4x^2 + kx + 9 = 0$

1. 問題の内容

問題53は、与えられた2次方程式が重解を持つときの定数 $k$ の値を求め、その重解も求める問題です。具体的には、以下の2つの2次方程式について考えます。

(1) $x^2 - 10x + k = 0$

(2) $4x^2 + kx + 9 = 0$

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つためには、判別式 $D$ が0になる必要があります。

判別式 $D$ は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ に対して $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

(1) $x^2 - 10x + k = 0$ の場合:

$a = 1, b = -10, c = k$ なので、判別式 $D$ は、

$D = (-10)^2 - 4(1)(k) = 100 - 4k$

重解を持つためには $D = 0$ である必要があるので、

$100 - 4k = 0$

$4k = 100$

$k = 25$

このとき、2次方程式は $x^2 - 10x + 25 = 0$ となり、

$(x - 5)^2 = 0$

よって、重解は $x = 5$

(2) $4x^2 + kx + 9 = 0$ の場合:

$a = 4, b = k, c = 9$ なので、判別式 $D$ は、

$D = k^2 - 4(4)(9) = k^2 - 144$

重解を持つためには $D = 0$ である必要があるので、

$k^2 - 144 = 0$

$k^2 = 144$

$k = \pm 12$

$k = 12$ のとき、2次方程式は $4x^2 + 12x + 9 = 0$ となり、

$(2x + 3)^2 = 0$

よって、重解は $x = -\frac{3}{2}$

$k = -12$ のとき、2次方程式は $4x^2 - 12x + 9 = 0$ となり、

$(2x - 3)^2 = 0$

よって、重解は $x = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $k = 25$, 重解は $x = 5$

(2) $k = 12$ のとき、重解は $x = -\frac{3}{2}$,

$k = -12$ のとき、重解は $x = \frac{3}{2}$