$P = (p_1, p_2, p_3)$ は正則行列であり、$A = (p_1, p_2, p_3, -p_1 + p_2 - 3p_3)$, $b = 3p_1 + 2p_2 + 3p_3$ とする。このとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられたベクトル表示が正しいかどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

$P = (p_1, p_2, p_3)$ は正則行列であり、$A = (p_1, p_2, p_3, -p_1 + p_2 - 3p_3)$, $b = 3p_1 + 2p_2 + 3p_3$ とする。このとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられたベクトル表示が正しいかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

$Ax = b$ を解く。まず、$x$ を列ベクトル $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ とすると、$Ax$ は次のようになります。

$Ax = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 (-p_1 + p_2 - 3p_3) = (x_1 - x_4) p_1 + (x_2 + x_4) p_2 + (x_3 - 3x_4) p_3$

これが $b = 3p_1 + 2p_2 + 3p_3$ に等しいので、次の連立方程式を得ます。

$x_1 - x_4 = 3$

$x_2 + x_4 = 2$

$x_3 - 3x_4 = 3$

これを解きます。$x_4 = p$ とおくと、

$x_1 = 3 + p$

$x_2 = 2 - p$

$x_3 = 3 + 3p$

よって、解は次のようになります。

$x = \begin{pmatrix} 3+p \\ 2-p \\ 3+3p \\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

さて、与えられた解は

$x = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + 2p' \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + p' \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}$

この解を $Ax = b$ に代入してみましょう。

$x_1 - x_4 = 4 + 2p - (1 + 2p) = 3$

$x_2 + x_4 = 1 - 2p + (1 + 2p) = 2$

$x_3 - 3x_4 = 6 + 6p - 3(1 + 2p) = 3$

よって与えられた解は正しいです。

3. 最終的な答え

正しい