正則行列 $P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ と行列 $A = (p_1, p_2, p_3, 4p_1+4p_2-3p_3, -3p_1+3p_2+p_3)$ およびベクトル $b = p_1 + p_2 - p_3$ が与えられている。連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられたものが正しいかどうかを判定する。与えられたパラメータ表示は、あるベクトルに2つのパラメータ $p$ と $q$ をかけたベクトルを足した形になっている。

1. 問題の内容

正則行列 $P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ と行列 $A = (p_1, p_2, p_3, 4p_1+4p_2-3p_3, -3p_1+3p_2+p_3)$ およびベクトル $b = p_1 + p_2 - p_3$ が与えられている。連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられたものが正しいかどうかを判定する。与えられたパラメータ表示は、あるベクトルに2つのパラメータ $p$ と $q$ をかけたベクトルを足した形になっている。

2. 解き方の手順

まず、$A$ の定義から、$Ax = b$ を $p_1, p_2, p_3$ の線形結合で表すことを考える。$x = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)^T$ とすると、$Ax = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4(4p_1 + 4p_2 - 3p_3) + x_5(-3p_1 + 3p_2 + p_3)$ となる。

$Ax = b = p_1 + p_2 - p_3$ より、

$(x_1 + 4x_4 - 3x_5)p_1 + (x_2 + 4x_4 + 3x_5)p_2 + (x_3 - 3x_4 + x_5)p_3 = p_1 + p_2 - p_3$ が成り立つ。

$p_1, p_2, p_3$ は線形独立なので、係数を比較して、

\begin{align*} \label{eq:1} x_1 + 4x_4 - 3x_5 &= 1 \\ x_2 + 4x_4 + 3x_5 &= 1 \\ x_3 - 3x_4 + x_5 &= -1\end{align*}

という連立方程式を得る。これを解くことを考える。

$x_1 = 1 - 4x_4 + 3x_5$, $x_2 = 1 - 4x_4 - 3x_5$, $x_3 = -1 + 3x_4 - x_5$ である。

$x = (1 - 4x_4 + 3x_5, 1 - 4x_4 - 3x_5, -1 + 3x_4 - x_5, x_4, x_5)^T$

ここで、与えられた解のパラメータ表示を $x = (4, 4, 28, -8, -4)^T + p(4, 4, -3, -1, 0)^T + q(4, 28, -8, -4, -4)^T$ とおく。

$x = (4+4p+4q, 4+4p+28q, 28-3p-8q, -8-p-4q, -4-4q)^T$ となる。

これを連立一次方程式の解に代入してパラメータ表示があっているか確認する。

$x_4 = -8-p-4q$, $x_5 = -4-4q$

$x_1 = 1 - 4(-8-p-4q) + 3(-4-4q) = 1 + 32 + 4p + 16q - 12 - 12q = 21 + 4p + 4q$

ところが、パラメータ表示では $x_1 = 4+4p+4q$ であるので、一致しない。

$x_2 = 1 - 4(-8-p-4q) - 3(-4-4q) = 1 + 32 + 4p + 16q + 12 + 12q = 45 + 4p + 28q$

ところが、パラメータ表示では $x_2 = 4+4p+28q$ であるので、一致しない。

$x_3 = -1 + 3(-8-p-4q) - (-4-4q) = -1 - 24 - 3p - 12q + 4 + 4q = -21 - 3p - 8q$

ところが、パラメータ表示では $x_3 = 28-3p-8q$ であるので、一致しない。

3. 最終的な答え

正しくない