$P = (p_1, p_2, p_3)$ は正則行列であり、$A = (0, p_1, p_2, -3p_1 + p_2)$, $b = 3p_1 - p_2$ が与えられているとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示が、与えられた表示 $\begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, p \in \mathbb{R}$ として正しいかどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

$P = (p_1, p_2, p_3)$ は正則行列であり、$A = (0, p_1, p_2, -3p_1 + p_2)$, $b = 3p_1 - p_2$ が与えられているとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示が、与えられた表示

$\begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, p \in \mathbb{R}$

として正しいかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$Ax$ を計算します。$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ とすると、

$Ax = 0x_1 + p_1 x_2 + p_2 x_3 + (-3p_1 + p_2) x_4 = p_1(x_2 - 3x_4) + p_2(x_3 + x_4)$.

$Ax = b$ より、$p_1(x_2 - 3x_4) + p_2(x_3 + x_4) = 3p_1 - p_2$.

$p_1$ と $p_2$ は線形独立なので、$x_2 - 3x_4 = 3$ かつ $x_3 + x_4 = -1$.

与えられた解のパラメータ表示を $x$ に代入すると、

$x = \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 6+3p \\ -2-p \\ 1+p \end{pmatrix}$.

このとき、$x_2 - 3x_4 = (6+3p) - 3(1+p) = 6+3p - 3 - 3p = 3$ であり、$x_3 + x_4 = (-2-p) + (1+p) = -1$ である。

したがって、与えられた解のパラメータ表示は連立1次方程式 $Ax = b$ の解として正しい。

3. 最終的な答え

正しい