正則行列 $P = (p_1 \quad p_2 \quad p_3)$ と行列 $A = (p_1 \quad p_2 \quad -3p_1 + 3p_2 \quad p_1 - p_2)$ が与えられている。ベクトル $b = 3p_1 + p_2$ であるとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示が以下のように与えられている。 $\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$, $p, q \in \mathbb{R}$ このパラメータ表示が正しいかどうかを判定する。

1. 問題の内容

正則行列 $P = (p_1 \quad p_2 \quad p_3)$ と行列 $A = (p_1 \quad p_2 \quad -3p_1 + 3p_2 \quad p_1 - p_2)$ が与えられている。ベクトル $b = 3p_1 + p_2$ であるとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示が以下のように与えられている。

$\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$, $p, q \in \mathbb{R}$

このパラメータ表示が正しいかどうかを判定する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列 $A$ とベクトル $b$ を用いて連立一次方程式 $Ax = b$ を $p_1, p_2, p_3$ を基底とする座標で表す。

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ とすると、

$Ax = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 (-3p_1 + 3p_2) + x_4 (p_1 - p_2) = (x_1 - 3x_3 + x_4) p_1 + (x_2 + 3x_3 - x_4) p_2 = b = 3p_1 + p_2$

となる。よって、

$x_1 - 3x_3 + x_4 = 3$

$x_2 + 3x_3 - x_4 = 1$

という連立一次方程式を得る。これを解く。

$x_1 = 3 + 3x_3 - x_4$

$x_2 = 1 - 3x_3 + x_4$

$x_3 = p$

$x_4 = q$

とおくと、

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 3p - q \\ 1 - 3p + q \\ p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

与えられた解のパラメータ表示は

$\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$

与えられた解は正しい形式ではない。

3. 最終的な答え

誤り