与えられた式を展開する問題です。1は公式を用いて、2は工夫をして展開します。

1. 問題の内容

与えられた式を展開する問題です。1は公式を用いて、2は工夫をして展開します。

2. 解き方の手順

以下に、それぞれの問題の解き方を示します。

1 (1) $(3x+y)^3$

二項定理 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を用います。

$a = 3x$, $b = y$ とすると、

$(3x+y)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2y + 3(3x)y^2 + y^3 = 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3$

1 (2) $(-m+2n)^3$

二項定理 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を用います。

$a = -m$, $b = 2n$ とすると、

$(-m+2n)^3 = (-m)^3 + 3(-m)^2(2n) + 3(-m)(2n)^2 + (2n)^3 = -m^3 + 6m^2n - 12mn^2 + 8n^3$

1 (3) $(4x+3y)(16x^2-12xy+9y^2)$

公式 $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ を用います。

$a = 4x$, $b = 3y$ とすると、

$(4x+3y)(16x^2-12xy+9y^2) = (4x)^3 + (3y)^3 = 64x^3 + 27y^3$

1 (4) $(3a-b)(9a^2+3ab+b^2)$

公式 $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ を用います。

$a = 3a$, $b = b$ とすると、

$(3a-b)(9a^2+3ab+b^2) = (3a)^3 - b^3 = 27a^3 - b^3$

2 (1) $(x-y+z)^2$

$(x-y+z)^2 = (x+(-y)+z)^2$ と考え、$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ を用います。

$a = x$, $b = -y$, $c = z$ とすると、

$(x-y+z)^2 = x^2 + (-y)^2 + z^2 + 2(x)(-y) + 2(-y)(z) + 2(z)(x) = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz + 2zx$

2 (2) $(2a+3b-5c)^2$

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ を用います。

$a = 2a$, $b = 3b$, $c = -5c$ とすると、

$(2a+3b-5c)^2 = (2a)^2 + (3b)^2 + (-5c)^2 + 2(2a)(3b) + 2(3b)(-5c) + 2(-5c)(2a) = 4a^2 + 9b^2 + 25c^2 + 12ab - 30bc - 20ca$

2 (3) $(a^2+3a-2)(a^2+3a+3)$

$A = a^2 + 3a$ とおくと、

$(A-2)(A+3) = A^2 + A - 6 = (a^2+3a)^2 + (a^2+3a) - 6 = a^4 + 6a^3 + 9a^2 + a^2 + 3a - 6 = a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 3a - 6$

2 (4) $(x^2+3x+2)(x^2-3x+2)$

$A = x^2+2$ とおくと、

$(A+3x)(A-3x) = A^2 - (3x)^2 = (x^2+2)^2 - 9x^2 = x^4 + 4x^2 + 4 - 9x^2 = x^4 - 5x^2 + 4$

2 (5) $(x+y+z)(x-y-z)$

$A = y+z$ とおくと、

$(x+A)(x-A) = x^2 - A^2 = x^2 - (y+z)^2 = x^2 - (y^2 + 2yz + z^2) = x^2 - y^2 - z^2 - 2yz$

3. 最終的な答え

1 (1): $27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3$

1 (2): $-m^3 + 6m^2n - 12mn^2 + 8n^3$

1 (3): $64x^3 + 27y^3$

1 (4): $27a^3 - b^3$

2 (1): $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz + 2zx$

2 (2): $4a^2 + 9b^2 + 25c^2 + 12ab - 30bc - 20ca$

2 (3): $a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 3a - 6$

2 (4): $x^4 - 5x^2 + 4$

2 (5): $x^2 - y^2 - z^2 - 2yz$