与えられた等式 $X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ を満たす2次の正方行列 $X$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた等式 $X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ を満たす2次の正方行列 $X$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$X$ を次のように置きます。

$X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

すると、$X^2$ は

$X^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix}$

これが与えられた行列と等しいので、

$\begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

したがって、以下の連立方程式が得られます。

$a^2 + bc = 1$

$ab + bd = b(a+d) = 0$

$ac + cd = c(a+d) = 0$

$bc + d^2 = 4$

$b(a+d) = 0$ と $c(a+d) = 0$ より、2つの場合に分けて考えます。

(i) $a+d \ne 0$ の場合：

$b = 0$ かつ $c = 0$ となります。

すると、$a^2 = 1$ より $a = \pm 1$ 、$d^2 = 4$ より $d = \pm 2$ となります。

$a+d \ne 0$ より、$(a,d) = (1,2), (1,-2), (-1,2), (-1,-2)$ が考えられます。

よって、

$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

(ii) $a+d = 0$ の場合：

$d = -a$ となります。

$a^2 + bc = 1$ と $bc + d^2 = 4$ に $d = -a$ を代入すると、$bc + a^2 = 4$ となります。

$a^2 + bc = 1$ と $bc + a^2 = 4$ の差をとると、$0 = -3$ となり矛盾します。

したがって、$a+d = 0$ の場合は解を持ちません。

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$