同じ次数の正方行列 $A, B$ に対して、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ が成り立つための条件を求めます。

1. 問題の内容

同じ次数の正方行列 $A, B$ に対して、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ が成り立つための条件を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$(A+B)(A-B)$ を展開します。

$(A+B)(A-B) = A(A-B) + B(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2$

したがって、与えられた条件 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ は、

$A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$

と書き換えられます。両辺から $A^2$ と $-B^2$ を引くと、

$-AB + BA = 0$

となります。この式を整理すると、

$BA = AB$

となります。

したがって、行列 $A$ と $B$ が可換であるとき、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

行列 $A$ と $B$ が可換であること、つまり、$AB = BA$ が成り立つことが条件です。