$P = (p_1 \ p_2 \ p_3 \ p_4)$ は正則行列である。 $A = (p_1 \ 4p_1 \ p_2 \ p_3 \ -3p_1 + 4p_2 + 3p_3)$ $b = p_1 - p_2 + p_3$ のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられたベクトルとパラメータ $p, q \in \mathbb{R}$ を用いた表示が正しいかどうかを判断する。

1. 問題の内容

$P = (p_1 \ p_2 \ p_3 \ p_4)$ は正則行列である。

$A = (p_1 \ 4p_1 \ p_2 \ p_3 \ -3p_1 + 4p_2 + 3p_3)$

$b = p_1 - p_2 + p_3$

のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられたベクトルとパラメータ $p, q \in \mathbb{R}$ を用いた表示が正しいかどうかを判断する。

2. 解き方の手順

まず、$Ax = b$ を $p_1, p_2, p_3$ の線形結合として書き下す。

$A = (p_1 \ 4p_1 \ p_2 \ p_3 \ -3p_1 + 4p_2 + 3p_3)$ を用いて、$x = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)^T$ とすると、

$Ax = x_1p_1 + x_2(4p_1) + x_3p_2 + x_4p_3 + x_5(-3p_1 + 4p_2 + 3p_3) = (x_1 + 4x_2 - 3x_5)p_1 + (x_3 + 4x_5)p_2 + (x_4 + 3x_5)p_3$

これが $b = p_1 - p_2 + p_3$ と等しいので、

$x_1 + 4x_2 - 3x_5 = 1$

$x_3 + 4x_5 = -1$

$x_4 + 3x_5 = 1$

を得る。

与えられた解のパラメータ表示を

$\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 15 \\ 13 \\ -4 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$

とする。これは

$\begin{pmatrix} 1 + p \\ -3 + 4p \\ 15 + q \\ 13 \\ -4 - 3p + 4q \end{pmatrix}$

である。

これらを $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ に代入して、上記の3つの式が成り立つかどうかを調べる。

$x_1 + 4x_2 - 3x_5 = (1+p) + 4(-3+4p) - 3(-4-3p+4q) = 1 + p - 12 + 16p + 12 + 9p - 12q = 26p - 12q + 1 = 1$

$x_3 + 4x_5 = (15 + q) + 4(-4 - 3p + 4q) = 15 + q - 16 - 12p + 16q = -12p + 17q - 1 = -1$

$x_4 + 3x_5 = 13 + 3(-4 - 3p + 4q) = 13 - 12 - 9p + 12q = -9p + 12q + 1 = 1$

これらの式を整理すると

$26p - 12q = 0$

$-12p + 17q = 0$

$-9p + 12q = 0$

となる。3番目の式から $3p = 4q$ となる。

これを最初の式に代入すると $26p - 12(\frac{3}{4}p) = 26p - 9p = 17p = 0$ となり、$p=0$。したがって、$q=0$。

これはすべての $p, q \in \mathbb{R}$ で成り立つわけではないので、与えられたパラメータ表示は正しくない。

しかし、 $x_2=0$ が必要なので、 $A = (p_1, p_2, p_3, -3p_1 + 4p_2 + 3p_3)$ とした方が良い。

$Ax= x_1p_1 + x_2p_2 + x_3p_3 +x_4(-3p_1 + 4p_2 + 3p_3)= (x_1 -3x_4)p_1 + (x_2+4x_4)p_2 + (x_3+3x_4)p_3$

これから、

$x_1 -3x_4=1$

$x_2 + 4x_4= -1$

$x_3 + 3x_4=1$

ベクトル形式で、$x_4$ が自由変数である。

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

正しくない