画像に含まれる複数の数学の問題を解く。問題は、恒等式の係数決定、複素数の計算、複素数の実部と虚部、共役な複素数、等式を満たす実数x, yの値を求めるものなどがある。

1. 問題の内容

画像に含まれる複数の数学の問題を解く。問題は、恒等式の係数決定、複素数の計算、複素数の実部と虚部、共役な複素数、等式を満たす実数x, yの値を求めるものなどがある。

2. 解き方の手順

[711新編 数学II 練習20]

与えられた等式 $2x^2 - 7x + 8 = (x-3)(ax+b) + c$ がxについての恒等式になるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。

まず、右辺を展開します。

$(x-3)(ax+b) + c = ax^2 + bx - 3ax - 3b + c = ax^2 + (b-3a)x - 3b + c$

この式と左辺の $2x^2 - 7x + 8$ が恒等式であるためには、各項の係数が一致する必要があります。

したがって、

$a = 2$

$b - 3a = -7$

$-3b + c = 8$

$a=2$ を $b - 3a = -7$ に代入すると、$b - 3(2) = -7$ より、$b - 6 = -7$ なので、$b = -1$

$b=-1$ を $-3b + c = 8$ に代入すると、$-3(-1) + c = 8$ より、$3 + c = 8$ なので、$c = 5$

よって、$a = 2$, $b = -1$, $c = 5$

[711新編 数学II 練習21]

与えられた等式 $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}$ がxについての恒等式になるように、定数 $a, b$ の値を求めます。

右辺を通分します。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} = \frac{a(x+1) + bx}{x(x+1)} = \frac{ax + a + bx}{x(x+1)} = \frac{(a+b)x + a}{x(x+1)}$

この式と左辺の $\frac{1}{x(x+1)}$ が恒等式であるためには、分子が一致する必要があります。

したがって、

$(a+b)x + a = 1$

つまり、$a+b = 0$ かつ $a = 1$

$a = 1$ を $a+b = 0$ に代入すると、$1+b = 0$ より、$b = -1$

よって、$a = 1$, $b = -1$

[711新編 数学II 練習1]

(1) $-3+5i$ の実部は $-3$ 、虚部は $5$

(2) $\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ の実部は $\frac{-1}{2}$ 、虚部は $\frac{-\sqrt{3}}{2}$

(3) $1$ の実部は $1$ 、虚部は $0$

(4) $-i$ の実部は $0$ 、虚部は $-1$

[711新編 数学II 練習2]

(1) $(x-2y) + (x+3y)i = 2 - i$ より

$x-2y = 2$

$x+3y = -1$

この連立方程式を解きます。

下の式から上の式を引くと $5y = -3$ より $y = -\frac{3}{5}$

$x - 2(-\frac{3}{5}) = 2$ より $x + \frac{6}{5} = 2$ なので $x = 2 - \frac{6}{5} = \frac{10-6}{5} = \frac{4}{5}$

よって、$x = \frac{4}{5}, y = -\frac{3}{5}$

(2) $(2x+y) + (x-y+3)i = 0$ より

$2x+y = 0$

$x-y+3 = 0$

この連立方程式を解きます。

上の式と下の式を足すと $3x+3 = 0$ より $x = -1$

$2(-1)+y = 0$ より $y = 2$

よって、$x = -1, y = 2$

[711新編 数学II 練習3]

(1) $(2+3i) + (4+i) = 2+4 + 3i+i = 6+4i$

(2) $(-1+2i) + (3-4i) = -1+3 + 2i-4i = 2-2i$

(3) $(6+4i) - (3+2i) = 6-3 + 4i-2i = 3+2i$

(4) $(2-3i) - (4-2i) = 2-4 -3i+2i = -2-i$

[711新編 数学II 練習4]

(1) $(1+2i)(4+3i) = 1(4) + 1(3i) + 2i(4) + 2i(3i) = 4 + 3i + 8i + 6i^2 = 4 + 11i - 6 = -2+11i$

(2) $(2-i)(3+4i) = 2(3) + 2(4i) -i(3) -i(4i) = 6 + 8i - 3i - 4i^2 = 6 + 5i + 4 = 10+5i$

(3) $(3+4i)(3-4i) = 3(3) + 3(-4i) + 4i(3) + 4i(-4i) = 9 - 12i + 12i - 16i^2 = 9 + 16 = 25$

(4) $(2+3i)^2 = (2+3i)(2+3i) = 2(2) + 2(3i) + 3i(2) + 3i(3i) = 4 + 6i + 6i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5+12i$

[711新編 数学II 練習5]

(1) $2+3i$ の共役な複素数は $2-3i$

(2) $1-i$ の共役な複素数は $1+i$

(3) $\sqrt{3}i$ の共役な複素数は $-\sqrt{3}i$

(4) $\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ の共役な複素数は $\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$

(5) $-4$ の共役な複素数は $-4$

3. 最終的な答え

[711新編 数学II 練習20]

$a = 2, b = -1, c = 5$

[711新編 数学II 練習21]

$a = 1, b = -1$

[711新編 数学II 練習1]

(1) 実部: $-3$, 虚部: $5$

(2) 実部: $-\frac{1}{2}$, 虚部: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) 実部: $1$, 虚部: $0$

(4) 実部: $0$, 虚部: $-1$

[711新編 数学II 練習2]

(1) $x = \frac{4}{5}, y = -\frac{3}{5}$

(2) $x = -1, y = 2$

[711新編 数学II 練習3]

(1) $6+4i$

(2) $2-2i$

(3) $3+2i$

(4) $-2-i$

[711新編 数学II 練習4]

(1) $-2+11i$

(2) $10+5i$

(3) $25$

(4) $-5+12i$

[711新編 数学II 練習5]

(1) $2-3i$

(2) $1+i$

(3) $-\sqrt{3}i$

(4) $\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$

(5) $-4$