$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$は正則行列である。 $A = (p_1 \ p_2 \ -p_1-3p_2 \ p_1-3p_2)$ $b = 2p_1 + 3p_2$ のとき、連立一次方程式$Ax = b$の解のパラメータ表示として、与えられたパラメータ表示が正しいかどうかを判断する。与えられたパラメータ表示は以下の通りである。 $x = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \ p \in \mathbb{R}$

1. 問題の内容

$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$は正則行列である。

$A = (p_1 \ p_2 \ -p_1-3p_2 \ p_1-3p_2)$

$b = 2p_1 + 3p_2$

のとき、連立一次方程式$Ax = b$の解のパラメータ表示として、与えられたパラメータ表示が正しいかどうかを判断する。与えられたパラメータ表示は以下の通りである。

$x = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \ p \in \mathbb{R}$

2. 解き方の手順

まず、$A$の列ベクトルを$a_1, a_2, a_3, a_4$とすると、

$a_1 = p_1, a_2 = p_2, a_3 = -p_1 - 3p_2, a_4 = p_1 - 3p_2$

$Ax = b$を解くことは、$x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3 + x_4 a_4 = b$となる$x$を求めることである。

$x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 (-p_1 - 3p_2) + x_4 (p_1 - 3p_2) = 2p_1 + 3p_2$

$(x_1 - x_3 + x_4) p_1 + (x_2 - 3x_3 - 3x_4) p_2 = 2p_1 + 3p_2$

$p_1$と$p_2$は線形独立なので、

$x_1 - x_3 + x_4 = 2$

$x_2 - 3x_3 - 3x_4 = 3$

与えられたパラメータ表示を代入して確認する。

$x = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6p \\ -p \\ -1-p \end{pmatrix}$

$x_1 = 3, x_2 = -6p, x_3 = -p, x_4 = -1-p$

$3 - (-p) + (-1-p) = 3 + p - 1 - p = 2$

$-6p - 3(-p) - 3(-1-p) = -6p + 3p + 3 + 3p = 3$

両方の式を満たすので、パラメータ表示は正しい。

3. 最終的な答え

正しい