## 問題の回答

## 問題の回答

画像に掲載されている数学の問題を解きます。

問題は複数のセクションに分かれており、それぞれ異なる種類の計算問題が含まれています。具体的には、複素数の計算、2次方程式の解法、複素数を用いた表現、根号を含む式の計算、2次方程式の解の種類を判別する問題があります。

## 解き方の手順と答え

**[711新編 数学II 練習6]**

(1) $\frac{1+2i}{2+3i}$

分母の共役複素数を掛けて分母を実数化します。分母の共役複素数は $2-3i$ なので、分子と分母にこれを掛けます。

$\frac{1+2i}{2+3i} = \frac{(1+2i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)} = \frac{2 - 3i + 4i - 6i^2}{4 - 9i^2} = \frac{2 + i + 6}{4 + 9} = \frac{8+i}{13} = \frac{8}{13} + \frac{1}{13}i$

(2) $\frac{1-i}{1+i}$

分母の共役複素数を掛けて分母を実数化します。分母の共役複素数は $1-i$ なので、分子と分母にこれを掛けます。

$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1 - i - i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 - 2i - 1}{1 + 1} = \frac{-2i}{2} = -i$

(3) $\frac{5i}{2-i}$

分母の共役複素数を掛けて分母を実数化します。分母の共役複素数は $2+i$ なので、分子と分母にこれを掛けます。

$\frac{5i}{2-i} = \frac{5i(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{10i + 5i^2}{4 - i^2} = \frac{10i - 5}{4 + 1} = \frac{-5+10i}{5} = -1 + 2i$

(4) $\frac{1}{i}$

分母の共役複素数 $-i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{i} = \frac{1 \times (-i)}{i \times (-i)} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{1} = -i$

**[711新編 数学II 練習7]**

(1) $\sqrt{-5}$

$\sqrt{-5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{5}i$

(2) $\sqrt{-9}$

$\sqrt{-9} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{-1} = 3i$

(3) $-27$ の平方根

$x^2 = -27$ を解きます。

$x = \pm \sqrt{-27} = \pm \sqrt{27}i = \pm \sqrt{9 \cdot 3} i = \pm 3\sqrt{3}i$

**[711新編 数学II 練習8]**

(1) $\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-6}$

$\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-6} = (\sqrt{2}i) \cdot (\sqrt{6}i) = \sqrt{12}i^2 = 2\sqrt{3} (-1) = -2\sqrt{3}$

(2) $\frac{\sqrt{-8}}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{-8}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{8}i}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}i}{\sqrt{2}} = 2i$

(3) $\frac{\sqrt{-3}}{\sqrt{-2}}$

$\frac{\sqrt{-3}}{\sqrt{-2}} = \frac{\sqrt{3}i}{\sqrt{2}i} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(4) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{-5}}$

$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{-5}} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{5}i} = \frac{\sqrt{10}}{i} = \frac{\sqrt{10} \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-\sqrt{10}i}{1} = -\sqrt{10}i$

**[711新編 数学II 練習9]**

(1) $x^2 = -2$

$x = \pm \sqrt{-2} = \pm \sqrt{2}i$

(2) $x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

$x = \pm \sqrt{-1} = \pm i$

(3) $4x^2 + 1 = 0$

$4x^2 = -1$

$x^2 = -\frac{1}{4}$

$x = \pm \sqrt{-\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}i$

**[711新編 数学II 練習10]**

(1) $x^2 + 3x + 4 = 0$

解の公式より、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{7}i}{2}$

(2) $x^2 - 4x + 12 = 0$

解の公式より、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 48}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}i}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}i}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}i$

(3) $2x^2 + 5x + 5 = 0$

解の公式より、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 40}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{-15}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{15}i}{4}$

(4) $x^2 - 2\sqrt{3}x + 4 = 0$

解の公式より、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 16}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2i}{2} = \sqrt{3} \pm i$

**[711新編 数学II 練習11]**

解の種類を判別するには、判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号を調べます。

(1) $x^2 + 5x + 5 = 0$

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5 > 0$ よって、異なる2つの実数解を持つ。

(2) $2x^2 + 4x + 3 = 0$

$D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8 < 0$ よって、異なる2つの虚数解を持つ。

(3) $-4x^2 + x - 1 = 0$

$D = 1^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-1) = 1 - 16 = -15 < 0$ よって、異なる2つの虚数解を持つ。

(4) $x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$

$D = (-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12 - 12 = 0$ よって、重解（実数解）を持つ。

## 最終的な答え

**[711新編 数学II 練習6]**

(1) $\frac{8}{13} + \frac{1}{13}i$

(2) $-i$

(3) $-1 + 2i$

(4) $-i$

**[711新編 数学II 練習7]**

(1) $\sqrt{5}i$

(2) $3i$

(3) $\pm 3\sqrt{3}i$

**[711新編 数学II 練習8]**

(1) $-2\sqrt{3}$

(2) $2i$

(3) $\frac{\sqrt{6}}{2}$

(4) $-\sqrt{10}i$

**[711新編 数学II 練習9]**

(1) $\pm \sqrt{2}i$

(2) $\pm i$

(3) $\pm \frac{1}{2}i$

**[711新編 数学II 練習10]**

(1) $\frac{-3 \pm \sqrt{7}i}{2}$

(2) $2 \pm 2\sqrt{2}i$

(3) $\frac{-5 \pm \sqrt{15}i}{4}$

(4) $\sqrt{3} \pm i$

**[711新編 数学II 練習11]**

(1) 異なる2つの実数解

(2) 異なる2つの虚数解

(3) 異なる2つの虚数解

(4) 重解（実数解）