問題は次の2つです。 (1) ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -5 \\ a \end{pmatrix}$ が平行であるとき、$a$ の値を求める。 (2) ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ が同一平面上にあるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題は次の2つです。

(1) ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -5 \\ a \end{pmatrix}$ が平行であるとき、$a$ の値を求める。

(2) ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ が同一平面上にあるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つのベクトルが平行であるとき、一方のベクトルを定数倍することで他方のベクトルになる。つまり、ある実数 $k$ が存在して、

$\begin{pmatrix} -5 \\ a \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

と表せる。これから、$x$成分について $-5 = 2k$ となるので、$k = -\frac{5}{2}$ が得られる。

次に、$y$成分について、$a = -3k$ であり、 $k = -\frac{5}{2}$ を代入すると、

$a = -3 \left( -\frac{5}{2} \right) = \frac{15}{2}$

が得られる。

(2) 3つのベクトルが同一平面上にあるとき、3つのベクトルのうち1つを、残りの2つのベクトルの線形結合で表すことができる。つまり、ある実数 $s, t$ が存在して、

$\begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$

と表せる。これから、次の連立方程式が得られる。

\begin{align*} a &= 2s + t \\ -1 &= -3s + 0t \\ 3 &= 4s - 5t \end{align*}

2番目の式から $-1 = -3s$ なので、$s = \frac{1}{3}$ が得られる。

3番目の式に $s = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$3 = 4 \left( \frac{1}{3} \right) - 5t$

$3 = \frac{4}{3} - 5t$

$5t = \frac{4}{3} - 3 = \frac{4}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{5}{3}$

$t = -\frac{1}{3}$

が得られる。

最後に、1番目の式に $s = \frac{1}{3}$ と $t = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$a = 2 \left( \frac{1}{3} \right) + \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

が得られる。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{15}{2}$

(2) $a = \frac{1}{3}$