クラメルの公式を用いて、与えられた連立方程式を解く問題です。4つの連立方程式があります。

1. 問題の内容

クラメルの公式を用いて、与えられた連立方程式を解く問題です。4つの連立方程式があります。

2. 解き方の手順

(1) の解き方

与えられた連立方程式は

$x + 2y = -4$

$-2x - y = 3$

である。

行列式 $D$ を計算する。

$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (2)(-2) = -1 + 4 = 3$

$D_x = \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = (-4)(-1) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$

$D_y = \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-4)(-2) = 3 - 8 = -5$

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-2}{3}$

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{-5}{3}$

(2) の解き方

与えられた連立方程式は

$3x + 2y = 0$

$x - 2y = 8$

である。

行列式 $D$ を計算する。

$D = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (3)(-2) - (2)(1) = -6 - 2 = -8$

$D_x = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 8 & -2 \end{vmatrix} = (0)(-2) - (2)(8) = 0 - 16 = -16$

$D_y = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 8 \end{vmatrix} = (3)(8) - (0)(1) = 24 - 0 = 24$

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-16}{-8} = 2$

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{24}{-8} = -3$

(3) の解き方

与えられた連立方程式は

$3x + y + 3z = 1$

$-y + 2z = 2$

$x - z = -2$

である。

行列式 $D$ を計算する。

$D = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3(1 - 0) - 1(0 - 2) + 3(0 - (-1)) = 3(1) - 1(-2) + 3(1) = 3 + 2 + 3 = 8$

$D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - 1(-2 + 4) + 3(0 - 2) = 1(1) - 1(2) + 3(-2) = 1 - 2 - 6 = -7$

$D_y = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 3(-2 + 4) - 1(0 - 2) + 3(0 - 2) = 3(2) - 1(-2) + 3(-2) = 6 + 2 - 6 = 2$

$D_z = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3(2 - 0) - 1(0 - 2) + 1(0 - (-1)) = 3(2) - 1(-2) + 1(1) = 6 + 2 + 1 = 9$

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-7}{8}$

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$z = \frac{D_z}{D} = \frac{9}{8}$

(4) の解き方

与えられた連立方程式は

$2x + 3y - z = -3$

$-x + 2y + 2z = 1$

$x + y - z = -2$

である。

行列式 $D$ を計算する。

$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(-2 - 2) - 3(1 - 2) - 1(-1 - 2) = 2(-4) - 3(-1) - 1(-3) = -8 + 3 + 3 = -2$

$D_x = \begin{vmatrix} -3 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -3(-2 - 2) - 3(-1 + 4) - 1(1 + 4) = -3(-4) - 3(3) - 1(5) = 12 - 9 - 5 = -2$

$D_y = \begin{vmatrix} 2 & -3 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 2(-1 + 4) + 3(1 - 2) - 1(2 - 1) = 2(3) + 3(-1) - 1(1) = 6 - 3 - 1 = 2$

$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(-4 - 1) - 3(2 - 1) - 3(-1 - 2) = 2(-5) - 3(1) - 3(-3) = -10 - 3 + 9 = -4$

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-2}{-2} = 1$

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{2}{-2} = -1$

$z = \frac{D_z}{D} = \frac{-4}{-2} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{2}{3}$, $y = -\frac{5}{3}$

(2) $x = 2$, $y = -3$

(3) $x = -\frac{7}{8}$, $y = \frac{1}{4}$, $z = \frac{9}{8}$

(4) $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$