2次方程式 $x^2 + 5x + m = 0$ について、以下の2つの条件を満たすとき、定数 $m$ の値と2つの解をそれぞれ求めます。 (1) 1つの解が他の解の4倍である。 (2) 2つの解の差が1である。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 5x + m = 0$ について、以下の2つの条件を満たすとき、定数 $m$ の値と2つの解をそれぞれ求めます。

(1) 1つの解が他の解の4倍である。

(2) 2つの解の差が1である。

2. 解き方の手順

(1) 1つの解が他の解の4倍である場合

2つの解を $\alpha$, $4\alpha$ とおく。

解と係数の関係より、

$$\alpha + 4\alpha = -5$$

$$5\alpha = -5$$

$$\alpha = -1$$

よって、2つの解は $\alpha = -1$, $4\alpha = -4$ となる。

また、

$$\alpha \cdot 4\alpha = m$$

$$(-1) \cdot (-4) = m$$

$$m = 4$$

したがって、$m=4$、2つの解は $-1, -4$ である。

(2) 2つの解の差が1である場合

2つの解を $\beta$, $\beta + 1$ とおく。

解と係数の関係より、

$$\beta + (\beta + 1) = -5$$

$$2\beta + 1 = -5$$

$$2\beta = -6$$

$$\beta = -3$$

よって、2つの解は $\beta = -3$, $\beta + 1 = -2$ となる。

また、

$$\beta \cdot (\beta + 1) = m$$

$$(-3) \cdot (-2) = m$$

$$m = 6$$

したがって、$m=6$、2つの解は $-3, -2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $m=4$、解は $-1, -4$

(2) $m=6$、解は $-3, -2$