画像に写っている数学の問題は、練習18で分数式の計算（(1)～(4)）、練習19で恒等式の選択（(1)～(4)）です。一つずつ解いていきます。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題は、練習18で分数式の計算（(1)～(4)）、練習19で恒等式の選択（(1)～(4)）です。一つずつ解いていきます。

2. 解き方の手順

練習18：分数式の計算

(1) $\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-2}$

通分します。

$\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)} + \frac{3(x+1)}{(x+1)(x-2)}$

分子を整理します。

$\frac{2x - 4 + 3x + 3}{(x+1)(x-2)}$

$\frac{5x - 1}{(x+1)(x-2)}$

(2) $\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x^2 - x}$

通分します。まず、$x^2 - x = x(x-1)$ なので、

$\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x(x-1)}$

$\frac{x^2}{x(x-1)} - \frac{1}{x(x-1)}$

$\frac{x^2 - 1}{x(x-1)}$

$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}$

$\frac{x+1}{x}$

(3) $\frac{x}{x+1} + \frac{3x-1}{x^2-2x-3}$

通分します。まず、$x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$なので、

$\frac{x}{x+1} + \frac{3x-1}{(x-3)(x+1)}$

$\frac{x(x-3)}{(x+1)(x-3)} + \frac{3x-1}{(x+1)(x-3)}$

$\frac{x^2 - 3x + 3x - 1}{(x+1)(x-3)}$

$\frac{x^2 - 1}{(x+1)(x-3)}$

$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-3)}$

$\frac{x-1}{x-3}$

(4) $\frac{3x+5}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+x}$

通分します。$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ 、 $x^2 + x = x(x+1)$ なので、

$\frac{3x+5}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x(x+1)}$

$\frac{x(3x+5)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{x(x-1)(x+1)}$

$\frac{3x^2 + 5x - (x-1)}{x(x-1)(x+1)}$

$\frac{3x^2 + 4x + 1}{x(x-1)(x+1)}$

$\frac{(3x+1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}$

$\frac{3x+1}{x(x-1)}$

練習19：恒等式の選択

(1) $(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

左辺を展開すると $x^2 - 1 = x^2 - 1$ となり、これは恒等式です。

(2) $x^2 - 4x + 3 = 0$

これは二次方程式であり、特定の$x$の値でのみ成立します。恒等式ではありません。

(3) $2 + \frac{1}{x+1} = \frac{3}{x+1}$

両辺に $(x+1)$をかけると $2(x+1) + 1 = 3$ となり、$2x + 2 + 1 = 3$ 、つまり、$2x + 3 = 3$、$2x = 0$、$x = 0$ のときにのみ成立します。恒等式ではありません。

(4) $\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{2}{x(x+2)}$

左辺を通分すると $\frac{x+2}{x(x+2)} - \frac{x}{x(x+2)} = \frac{x+2-x}{x(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)}$ となり、これは恒等式です。

3. 最終的な答え

練習18

(1) $\frac{5x-1}{(x+1)(x-2)}$

(2) $\frac{x+1}{x}$

(3) $\frac{x-1}{x-3}$

(4) $\frac{3x+1}{x(x-1)}$

練習19

(1) と (4)