次の2つの連立一次方程式を解きます。 (1) $ \begin{cases} 4x - 2y - 3z = 1 \\ 3x - 2y - z = -3 \\ 3x - y - 4z = 5 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} x - 2y - 3z = -1 \\ x + y + 3z = 2 \\ x + 3y + 7z = 4 \end{cases} $

はい、承知いたしました。画像にある連立一次方程式を消去法で解きます。

1. 問題の内容

次の2つの連立一次方程式を解きます。

(1)

$$

\begin{cases}

4x - 2y - 3z = 1 \\

3x - 2y - z = -3 \\

3x - y - 4z = 5

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{cases}

x - 2y - 3z = -1 \\

x + y + 3z = 2 \\

x + 3y + 7z = 4

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1)

まず、1番目と2番目の式から $y$ を消去します。

1番目の式から2番目の式を引くと、

$$

(4x - 2y - 3z) - (3x - 2y - z) = 1 - (-3)

$$

$$

x - 2z = 4

$$

次に、2番目と3番目の式から $y$ を消去します。

3番目の式から2番目の式を2倍したものを引くと、

$$

(3x - y - 4z) - 2(3x - 2y - z) = 5 - 2(-3)

$$

$$

(3x - y - 4z) - (6x - 4y - 2z) = 5 + 6

$$

$$

-3x + 3y - 2z = 11

$$

$y$ を消去するために、3番目の式から2番目の式を引くのではなく、3番目の式の2倍から2番目の式を引くとyが消える：

$2(3x - y - 4z) - (3x - 2y - z) = 2*5 - (-3)$

$6x - 2y - 8z - 3x + 2y + z = 10 + 3$

$3x - 7z = 13$

得られた連立方程式は以下のようになります。

$$

\begin{cases}

x - 2z = 4 \\

3x - 7z = 13

\end{cases}

$$

1番目の式を3倍して2番目の式から引くと、$x$ が消去されます。

$$

(3x - 7z) - 3(x - 2z) = 13 - 3(4)

$$

$$

(3x - 7z) - (3x - 6z) = 13 - 12

$$

$$

-z = 1

$$

$$

z = -1

$$

$z = -1$ を $x - 2z = 4$ に代入すると、$x$ が求まります。

$$

x - 2(-1) = 4

$$

$$

x + 2 = 4

$$

$$

x = 2

$$

$x = 2$ と $z = -1$ を $3x - y - 4z = 5$ に代入すると、$y$ が求まります。

$$

3(2) - y - 4(-1) = 5

$$

$$

6 - y + 4 = 5

$$

$$

10 - y = 5

$$

$$

y = 5

$$

(2)

1番目の式を2番目の式から引くと、

$$

(x + y + 3z) - (x - 2y - 3z) = 2 - (-1)

$$

$$

3y + 6z = 3

$$

$$

y + 2z = 1

$$

1番目の式を3番目の式から引くと、

$$

(x + 3y + 7z) - (x - 2y - 3z) = 4 - (-1)

$$

$$

5y + 10z = 5

$$

$$

y + 2z = 1

$$

得られた方程式は同じであるため、$y$ を $z$ で表すと $y = 1 - 2z$となります。

これを2番目の式に代入すると

$x + (1-2z) + 3z = 2$

$x + 1 + z = 2$

$x + z = 1$

$x = 1 - z$

この連立方程式は不定解を持ち、$z$が任意の値をとると、$x = 1 - z$、$y = 1 - 2z$となる。

3. 最終的な答え

(1)

$x = 2, y = 5, z = -1$

(2)

$x = 1-z$, $y = 1-2z$, $z$は任意の実数